ARC106部分题解

D：

题意

给出\(N,K,A_i\)

对于每个\(X\in [1,k]\)计算$\sum\limits_{L=1}^{N-1} \sum\limits_{R=L+1} ^N (A_i+A_j)^X $

sol

考虑将式子改成

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^N \sum\limits_{j=1}^N (A_i+A_j)^X-\sum\limits_{i=1}^ N (2\cdot A_i)^X }{2} \]

然后继续化简左边那个东西。

\[\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N (A_i+A_j) ^X=\sum_{i=1} ^N \sum_{j=1}^N \sum_{k=0}^{X} \binom X k A_j^k A_j^{X-k} \]

然后拆开\(\binom X k\)

\[\sum_{i=1} ^N \sum_{j=1}^N \sum_{k=0} ^{X} {X!}\cdot \frac{A_j^k}{k!} \cdot \frac{A_j^{X-k}}{(X-k)!}=X! \cdot \sum_{k=0}^X \big(\sum_{i=1}^N \frac{A_i^k}{k!} \big)\cdot \big(\sum_{j=1}^N \frac{A_j^{X-k}}{(X-k)!} \big) \]

\(\sum\limits_{i=1}^N \frac{A_i^ k }{k!}\)可以在\(O(NK)\)的时间内预处理出来。

整个式子可以在\(O(k^2)\)的时间复杂度算出来（也可以做到\(O(k\log k)\)）

E:

题意

你经营着一家有\(N\)个员工的商店，从今天开始，第\(i\)个员工会连续上\(A_i\)天班然后连续休息\(A_i\)天。

每一天，你都可以从所有上班的员工中选出一位，给它一枚奖章，求最少要几天每个员工获得至少\(k\)枚奖章。

sol

考虑通过二分答案来找到最少的天数\(D\)。

考虑一个二分图拥有\(N\times K +D\)个点。

令\(U\)表示这\(N\times K\)个顶点的集合。

将代表每天的点与当天工作的员工相对应的点连一条边，那么满足题目条件就相当于覆盖整个\(U\)。

霍尔定理：二分图存在最大完备匹配的充要条件是与某一侧的任意\(k\)个点相连的另一侧节点\(\ge k\)个

考虑霍尔定理，这种情况就相当于对于每个子集\(A \in U\)，满足\(|A|\le |\Gamma (A)|\)

而\(|\Gamma (A)|\)只取决于关于\(A\)中包含的一组员工。因此对于与某个相对应的点，我们只需考虑两种情况：情况A不包含所有的点，或者包含所有的点。

因此，对于每一个包含员工的非空子集，我们可以找到子集中包含的至少一名员工开始上班的天数。

此外\(|A|\leq NK \leq |\Gamma (A)|\)，显然这不会超过\(2NK\)天。

由于这不是很说人话，搬一份别人的题解：

int n,k,a[22];
int popcnt1[1<<18],cnt[1<<18];
const int m=18*100000*2;
int tag[3600010];
int check(int x)
{
	//cnt[i]表示选择工人集合是i（i看成一个二进制数）的子集天数和
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	R(i,0,x-1) cnt[tag[i]]++;
	R(i,0,n-1) R(j,0,(1<<n)-1) if((j>>i)&1) cnt[j]+=cnt[j^(1<<i)]; 
	R(i,0,(1<<n)-1) if(popcnt1[i]*k>x-cnt[(1<<n)-1-i]) return 0;
	return 1;
}
signed main()
{
	n=read(),k=read();
	R(i,1,(1<<n)-1) popcnt1[i]=popcnt1[i>>1]+(i&1);
	R(i,0,n-1) a[i]=read();
	R(i,0,n-1) R(j,0,m-1) if(j%(a[i]*2)<a[i]) tag[j]|=(1<<i);//选择员工的集合。
	int l=1,r=m,best=m;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)) best=mid,r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	writeln(best);

}

F:

题意

有\(n\)个点，第\(i\)个点有\(d_i\)个孔（孔是有标号的），每个孔只能使用一次。每条边可以连接任意两个点上的孔，求有多少不同的连边方式可以连出一棵树。

sol

令\(S=\sum d_i\)。

当\(S<2(N-1)\)时，显然无解

当\(S\ge 2(N-1)\)时，考虑按照以下方式选出一棵生成树：

先为每个零件选择一个特殊孔

然后进行以下操作\(n-2\)次：

• 选择一个未使用的非特殊孔
• 选择一个与所选点不连通的点中未被使用的特殊孔
• 将两个孔连接起来。

最后，将两个没有使用的特殊孔连接起来。

因此以这种方式制造生成树方式为：

\[\prod d_i\times \prod_{i=0}^{N-3} (S-N-i)\times (N-1)! \]

但是显然我们并不在意边添加的顺序，因此答案还要除以\((N-1)!\)。

int n,s;
int ans=1;
signed main()
{
    n=read();
    R(i,1,n)
    {
        static int x;
        x=read()%mod;
        s+=x;s%=mod;
        ans*=x;ans%=mod;
    }
    R(i,0,n-3) ans=1ll*ans*(s-i-n)%mod;
    writeln(ans);
}