汽车质心绝对加速度数学推导和滑模控制实例

1. 线性二自由度汽车质心绝对加速度在车辆坐标系下的公式

在汽车线性二自由度微分方程那篇博客中,我具体推导了\(a_y\),但是用了近似和忽略。下面将用向量的方法,详细推导出\(a_x、a_y\)

下面是推导的过程:

\[\begin{aligned} a&=a_\tau+a_n\\ &=\overset{·}{v_x}\overset{\rarr}{x}+\overset{·}{v_y}\overset{\rarr}{y}+w\overset{\rarr}{z}\times(v_x\overset{\rarr}{x}+v_y\overset{\rarr}{y})\\ &=\overset{·}{v_x}\overset{\rarr}{x}+\overset{·}{v_y}\overset{\rarr}{y}+wv_x\overset{\rarr}{z}\times\overset{\rarr}{x}+wv_y\overset{\rarr}{z}\times\overset{\rarr}{y}\\ &=\overset{·}{v_x}\overset{\rarr}{x}+\overset{·}{v_y}\overset{\rarr}{y}+wv_x\overset{\rarr}{y}-wv_y\overset{\rarr}{x}\\ &=(\overset{·}{v_x}-wv_y)\overset{\rarr}{x}+(\overset{·}{v_y}+wv_x)\overset{\rarr}{y}\\ &=a_x \overset{\rarr}{x}+a_y \overset{\rarr}{y} \end{aligned} \]

其中\(\tau\)向就是切向,而\(n\)向就是法向。

2. 一个汽车跟踪问题的滑模控制实例

例:汽车队列跟踪问题可以抽象出如下的模型:\(\overset{··}{x}=-\overset{·}{x}\ ^2+u\), 设计控制律\(u\),使\(x\rarr x_d\quad (t\rarr \infty)\)

解:设\(\epsilon=x-x_d\),则\(\overset{·}{\epsilon}=\overset{·}{x}-\overset{·}{x_d}\)\(\overset{··}{\epsilon}=\overset{··}{x}-\overset{··}{x_d}\)

可以设计切换函数\(S(\epsilon)=k\epsilon+\overset{·}{\epsilon}\quad (k>0)\)

接下来可以证明切换函数的滑模稳定性、存在性、可达性

2.1 滑模稳定性

滑模稳定性是指\(S\rarr0\)时,\(\epsilon\rarr0\)\(\overset{·}{\epsilon}\rarr0\),即点\((\epsilon,\overset{·}{\epsilon})\)会沿着滑模面\(k\epsilon+\overset{·}{\epsilon}=0\)到达原点。如下图中的黄线所示。

可以很快证明滑模稳定性,根据\(k\epsilon+\overset{·}{\epsilon}=0\),可以解得\(\epsilon=ce^{-kt}\)\(\overset{·}{\epsilon}=-cke^{-kt}\)

\(t\rarr \infty\)时,可知\(\epsilon\rarr0\)\(\overset{·}{\epsilon}\rarr0\),滑模存在稳定性。

2.2 滑模存在性与可达性

滑模控制系统存在性的充分条件是 \(\underset{S\rarr0}{lim}S\overset{·}{S}<0\),该条件可以保证系统在滑模面附近的任意初始状态,都能到达滑模面,是局部到达的条件。

滑模控制系统可达性的充分条件是 \(S\overset{·}{S}<0\),该条件可以保证系统在状态空间的任意位置,都能到达滑模面,是全局可达条件。

上面两个要素都是指如何到达滑模面的事情,如上图的蓝线所示。

接下来证明滑模可达性(也就证明了存在性)。

可以采用等速趋近律\(\overset{·}{S}=-\lambda sgn(s)\quad(\lambda>0)\),在该趋近律下,\(S\overset{·}{S}<0\)成立。因为\(S>0\)时,\(\overset{·}{S}<0\)\(S<0\)时,\(\overset{·}{S}>0\)

将切换函数\(S(\epsilon)=k\epsilon+\overset{·}{\epsilon}\)左右两边求导,得到

\[\overset{·}{S}=k\overset{·}{\epsilon}+\overset{··}{\epsilon} \]

再将\(\overset{··}{\epsilon}=\overset{··}{x}-\overset{··}{x_d}\)带入上式,得到

\[\overset{·}{S}=k\overset{·}{\epsilon}+\overset{··}{x}-\overset{··}{x_d} \]

得到的\(\overset{··}{x}\)与控制律\(u\)存在关系\(\overset{··}{x}=-\overset{·}{x}\ ^2+u\),所以将它代入上式就引入了控制律。

\[\overset{·}{S}=k\overset{·}{\epsilon}-\overset{··}{x_d}-\overset{·}{x}\ ^2+u \]

将上式与等速趋近律联立消去\(\overset{·}{S}\),得到

\[u=-\lambda sgn(s)-k\overset{·}{\epsilon}+\overset{··}{x_d}+\overset{·}{x}\ ^2 \]

\(u\)可以看成\(u_{equ}\)\(u_N\)两部分:

  • 等效控制部分 \(u_{equ}=-k\overset{·}{\epsilon}+\overset{··}{x_d}+\overset{·}{x}\ ^2\)

  • 反馈控制部分 \(u_N=-\lambda sgn(s)\)

posted @ 2022-04-27 21:39  静候佳茵  阅读(344)  评论(0编辑  收藏  举报