1.浅谈一些数论函数及其应用
1.浅谈一些数论函数及其应用
一些比较显然的东西
定义 \(\text{1.1}\)：数论函数：一个函数 \(f\) 被称之为数论函数当且仅当其定义域为 \(\Z^+\)，陪域为复数集。
定义 \(\text{1.2}\)：积性函数：一个函数 \(f\) 被称之为积性函数当且仅当 \(∀a,b\in D,(a,b)=1\) 并满足 \(f(a)f(b)=f(ab)\)。
引理 \(\text{1.1}\)：数论分块：给定正整数 \(n\)，对于任意的正整数 \(m\)，则 \(\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor\) 的取值有 \(\mathcal{O}(\sqrt n)\) 种。
证明：分类 \(m\) 是否大于 \(\sqrt n\) 即可。
定理 \(\text{1.1}\)：素数定理：令 \(\pi(x)\) 为不大于 \(x\) 的素数的个数，则有 \(\pi(x) =\mathcal{O}(\frac{x}{\ln x}).\)
证明略。
注意到完全积性函数就是不满足 \((a,b)=1\) 即可。
常见的函数
- 单位函数：\(ε(n)=[n=1].\)
- 常数函数：\(\text{1}(n)=1.\)
- 幂函数：\(\text{Id}_k(n)=n^k.\)
- 除数函数：\(\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k.\)
- 欧拉函数：\(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1].\)
- 莫比乌斯函数：\(\mu(n)=\left\{\begin{matrix} 1 & n=1\\ (-1)^k & n=p_1p_2\dots p_m\\ 0 & n\text{ can be divided by square number.} \end{matrix}\right.\)
详细解析函数
欧拉函数
我们假设所有的 \(p_i\in P\)，其中 \(P\) 是素数集合。
我们慢慢来推。
引理 \(1\)：若 \(n=p_x\)，则 \(\varphi(n)=n-1.\)
证明：显然依照欧拉函数的定义不难发现只有当 \(i=n\) 的时候不满足 \(\gcd(i,n)=1\)，故其他都满足，即 \(\varphi(n)=n-1.\)
引理 \(2\)：若 \(n=p_x^k\)，则 \(\varphi(n) = \varphi(p_x^k)=p_x^k-p_x^{k-1}.\)
证明：
同样依照式子：
\[\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1] \]转换得到：
\[\varphi(p_x^k)=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,p_x^k)=1] \]注意到有：
\[\varphi(p_x^k)=p_x^k-\frac{p_x^k}{p_x}=p_x^k-p_x^{k-1} \]这个式子的含义是总数减去是 \(p_x\) 的倍数的数。
引理 \(3\)：若 \(n=p_{\alpha_1}^{\beta_1}\dots p_{\alpha_m}^{\beta_m}\)，则 \(\varphi(n)=n\prod_{i=1}^m\left(1-\frac{1}{p_i}\right)=\prod_{i=1}^mp_{\alpha_i}^{\beta_i-1}\left(p_i-1\right).\)
证明：考虑用数学归纳法（参考陈景润的初等数论 \(2\)）。
当 \(m=1\) 时，由引理 \(2\) 可以知道等式成立。
现在设 \(m\geq 2\)，则不大于 \(n\) 的 \(p_{\alpha_1}\) 的倍数是：
\[p_{\alpha_1},2p_{\alpha_1},\dots,\frac{n}{p_{\alpha_1}}p_{\alpha_1} \]共有 \(\frac{n}{p_{\alpha_1}}\) 个，故不大于 \(n\) 而和 \(p_{\alpha_1}\) 互质的正整数共有
\[n-\frac{n}{p_{\alpha_1}}=n\left(1-\frac{1}{p_{\alpha_1}}\right) \]个，不大于 \(n\) 的 \(p_{\alpha_2}\) 的倍数个数也易得为 \(\frac{n}{p_{\alpha_2}}\)，故互质的正整数共有 \(n\left(1-\frac{1}{p_{\alpha_2}}\right)\)。
由于其中有重复的，不能直接相加，还需要减去不大于 \(n\) 的 \(p_{\alpha_1}p_{\alpha_2}\) 的倍数，最后得到的等式成立。
一直推导，便可得到对于 \(m\geq 1\) 该等式成立。
引理 \(4\)：由引理 \(3\) 易得为积性函数。
引理 \(5\)：若 \(a|b\) 则 \(\varphi(ab)=a\varphi(b).\)
证明：拆解因子然后发现左边等于右边。
引理 \(6\)：若 \(p\in P\)，则 \(\varphi(n)=\left\{\begin{matrix}p\varphi(\frac{n}{p})&p|n,p^2\nmid n\\\varphi(p)\varphi(\frac{n}{p})&p^2| n\end{matrix}\right.\)
证明：将 \(p^2\nmid n\) 看作 \(p\nmid \frac{n}{p}\)，就知道本质上和引理 \(5\) 一样。
引理 \(7\)（铺垫）：若 \(p\in P\)，则：\(1+\varphi(p)+\dots+\varphi(p^n)=p^n.\)
证明：
对于 \(n=1\) 显然成立。
现在设 \(n\geq 2\) 则有：
\[1+\varphi(p)+\dots+\varphi(p^n)=1+p-1+\dots p^{n-1}(p-1)=p^{n-1}+p^{n-1}(p-1)=p^n \]综上，成立。
引理 \(8\)（欧拉函数反演）：求证：\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n.\)
证明（很完美的一个等式啊！）：
设 \(n=p_1^{k_1}\dots p_{m}^{k_m}\)，则：
\[\begin{align} \sum_{d|n}\varphi(d)&=\sum_{d_1|p_1^{k_1}}\dots\sum_{d_m|p_m^{k_m}}\varphi(d_1d_2\dots d_m) &&\\ &=\sum_{d_1|p_1^{k_1}}\dots\sum_{d_m|p_m^{k_m}}\varphi(d_1)\varphi(d_2)\dots\varphi(d_m) &&\\ &=\sum_{d_1|p_1^{k_1}}\varphi(d_1)\dots\sum_{d_m|p_m^{k_m}}\varphi(d_m) &&\\ &=p_1^{k_1}\dots p_m^{k_m} &&\\ &=n && \end{align} \]真是气吞万里如虎啊，直接解决。
引理 \(9\)：若 \(n>2\)，则 \(\varphi(n)\) 必定是偶数。
证明：
分为两种情况：
- \(n\) 不含有奇素因子，即 \(n=2^m,m\geq 2\)。由引理 \(7\) 得到：\(\varphi(n)=2^m-2^{m-1}=2^{m-1}\)，故 \(\varphi(n)\) 为偶数。
- \(n\) 含有奇素因子，设 \(p\) 是 \(n\) 的一个奇素因子，则：\((p-1)|\varphi(n)\)（由引理 \(3\) 可以得到），又因为 \((p-1)\) 为偶数，故 \(\varphi(n)\) 为偶数。
综上所述，\(\varphi(n)\) 在 \(n>2\) 的情况下必定是偶数。
引理 \(10\)：设 \(n>1\)，则不大于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的所有正整数和是 \(\frac{1}{2}n·\varphi(n)\)。换言之，即证明：
证明：
若 \(n=2\)，则 \(\varphi(n)=\varphi(2)=1\)，所以：
\[\frac{1}{2}n\varphi(n)=\frac{1}{2}\times 2\times 1=1 \]显然满足上述等式。
现在假定 \(n>2\)，不大于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数有 \(\varphi(n)\) 个，显然它们都小于 \(n\)，由引理 \(9\) 可知，\(\varphi(n)\) 为偶数。
假如 \(m\) 为其中的一个数，即 \(0<m<n,(n,m)=1\)，那么显然有 \((n-m,n)=1\)，且 \(0<n-m<n\)，即 \(n-m\) 也是这 \(\varphi(n)\) 个数中的一个，而且 \(n-m\ne m\)。因此可以把不大于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的数分成 \(\frac{1}{2}\varphi(n)\) 组（是偶数），每组包含两个数，并且它们的和全部为 \(n\)，所以就可以得到它们的和为：\(n\times \frac{1}{2}\varphi(n).\)
引理 \(11\)：求证：\(\sqrt n \leq \varphi(n)\leq n-1\)，其中 \(\varphi(n)\geq \sqrt n\) 当且仅当 \(n\geq 7\) 成立。但是可以保证的是：$\varphi(n)\leq \lfloor\sqrt n\rfloor $
证明：
首先 \(n\mid n\)，故至多为 \(n-1\) 个与其互质的数。
- \(1.\) \(n\) 为质数的情况
设 \(n = p\) 是一个质数，故 \(\varphi(p) = p - 1.\)
要证明：\(p - 1 \ge \sqrt{p}.\)
对于 \(p ≥ 3\)
- 随着 \(p\) 增大，\(p - 1\) 与 \(\sqrt p\) 之间的差距越来越大，从而不等式成立。
因此，除 \(n = 2\) 这个例外外，质数情况下不等式成立。
- \(2.\) \(n\) 为合数的情况
令 \(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} ⋯ p_k^{a_k}\)，利用乘积公式
\[\varphi(n) = n \prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_i}\right). \]注意最不利情况通常出现在 \(n\) 有较多小的素因子（使得乘积 \(∏ (1-1/p)\) 较小）。例如，\(n = 6 = 2×3\) 就是极端情形之一，其结果 \(φ(6)=2\) 小于 \(\sqrt 6 ≈ 2.45\)。所以对于 \(n = 6\)，不等式不成立。但当 \(n\) 增大到一定程度（例如 \(n ≥ 7\)），受限于质因数的分布，这个乘积不至于太小，从而使得
\[\prod{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \ge \frac{1}{\sqrt{n}} \]成立。
一种证明方法是：
估计乘积
对于 \(n\) 有 \(k\) 个不同的素因子，最小情况发生在选取最小的前 \(k\) 个素数。定义\[P(k) = \prod_{i=1}^{k}\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \quad \text{和} \quad N(k) = \prod_{i=1}^{k} p_i. \]由于 \(n ≥ N(k)\)，那么有
\[\frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{N(k)}}. \]因此，只需证明对于所有 \(k\)（对应于 \(n ≥ 7\) 时 \(k ≥ 1\) 或 \(2\)）的情况都有
\[P(k) \ge \frac{1}{\sqrt{N(k)}}. \]利用数值估计
对 \(k=1\):
- 最小素数 \(p_1 = 2\)，此时
\[P(1)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \quad N(1)=2, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707. 显然, (\frac{1}{2} < 0.707)；但这对应于 n=2（已为例外）。 \]对 \(k=2\):
- 选 \(p_1 = 2, p_2 = 3\)，此时
\[ P(2)=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}, \quad N(2)=6,\quad \frac{1}{\sqrt{6}}\approx 0.408. \]我们有 (\(\frac{1}{3}\approx 0.333 < 0.408\))，这正是 \(n = 6\) 的例子，不成立。
对 \(k=2\) 但 \(n > 6\)：
- 如果 \(n\) 在拥有 \(2\) 个不同质因子时比 \(6\) 更大（例如 \(n = 10 = 2×5, n = 14 = 2×7\) 等），由于较大的素数使得 \(∏ (1-1/p)\) 更大时，能使得不等式恢复成立。
对更大 \(k\) 的情况，通过估计和渐进公式可证明，当 \(n\) 足够大（或 n ≥ 7 且排除极端例子如 n=6）时，不等式 \(φ(n) ≥ \sqrt n\) 成立。
结论
综上，对于 \(n ≥ 7\)（以及除去 \(n = 2,6\) 这类极端小的情况），可以证明：
\[\varphi(n) \ge \sqrt{n}. \]证明主要依赖于欧拉函数的乘积公式以及对不同组成情况的讨论。具体证明的严格性可能需要更精细的数理分析或不等式估计，但基本思路如上所述。
引理 \(12\)：
上述表明了 \(\varphi(n)\) 的和与 \(x^2\) 成比例。而另外一个事实就是：
引理 \(13\)：有：
这个留个坑，讲 \(\mu(n)\) 的时候在证明。
关于欧拉函数的
欧拉定理
显然成立。
扩展欧拉定理
你猜为什么显然成立。
例题
P1891 疯狂 LCM
给定 \(n\) 求：
其中 \(T(1\leq T\leq 3\times 10^5),n(1\leq n\leq 10^6).\)
思路
直接暴力 \(\mathcal{O}(Tn\log n)\)，即可得到以下代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <cstring>
#include <vector>
#define int long long
#define N 1000006
using namespace std;
int ans = 0;
int gcd(int a,int b) {
return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
signed main(){
int T;
cin >> T;
for (;T--;) {
int x;
scanf("%lld",&x);
int res = 0;
for (int i = 1;i <= x;i ++) res += i / gcd(i,x);
printf("%lld\n",x * res);
}
return 0;
}
显然地：
这在我们的代码是有体现的。
我们分为两种情况：
- \(\gcd(i,n)=1\)，此时贡献为 \(i\)。
- \(\gcd(i,w)=w\)，这个之后考虑。
对于第一种情况，直接：
接下来考虑第二种情况：
这样的类似式子直接预处理即可。
代码如下：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <cstring>
#include <vector>
#define int long long
#define N 1000006
using namespace std;
int gcd(int a,int b) {
return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
int prime[N],cnt,phi[N],ans[N],p[N];
bool vis[N];
void init(int n){
vis[1] = 1;
phi[1] = 1;
for (int i = 2;i <= n;i ++) {
if (!vis[i]) vis[i] = 1,phi[i] = i - 1,prime[++cnt] = i;
for (int j = 1;j <= cnt && prime[j] * i <= n;j ++) {
vis[prime[j] * i] = 1;
if (i % prime[j] == 0) {
phi[i * prime[j]] = prime[j] * phi[i];
p[i * prime[j]] = j;
break;
}
phi[i * prime[j]] = phi[prime[j]] * phi[i];
}
}
for (int i = 1;i <= n;i ++) {
for (int j = 1;i * j <= n;j ++)
ans[i * j] += (i == 1 ? 1 : i * phi[i] / 2);
}
}
signed main(){
int T;
cin >> T;
init(1e6);
// for (int i = 1;i <= 100;i ++) printf("phi[%lld]: %lld\n",i,phi[i]);
for (;T--;) {
int x;
scanf("%lld",&x);
// for (int l = 1,r;l <= x;l = r + 1) {
// r = x / (x / l);
// if (x / l != 1) res += (r - l + 1) * (x / l) * phi[x / l] / 2;
// }
printf("%lld\n",x * ans[x]);
}
return 0;
}
莫比乌斯函数
另外的定义（本质上一样）：
这个函数原理上是用来容斥原理。
浙公网安备 33010602011771号