【】 生日蛋糕

传送门

题意

体积固定为 \(n \pi\) 、固定\(m\)层，每一层都是一个圆柱体，从上往下

• 圆柱的半径必须是递减的，即\(r[i+1]>r[i]\)

• 圆柱的高度必须是递减的，即\(h[i+1]>h[i]\)

找出一个方案使得整个圆柱的外表面积最小（除了最底下那一层的下低面）,最后的答案除\(\pi\)

数据范围

\(\begin{array}{l}1 \leq N \leq 10000 \\ 1 \leq M \leq 20\end{array}\)

题解

状态包含的状态有当前的层数、已经确定的体积、已经确定的面积，题目中对最后的答案除圆周率，所以可以直接忽略
剪枝：

1. 优化搜索顺序

   • 蛋糕从底向上搜索

2. 上下界剪枝

   • 当前的半径一定小于上一层，最大是上一层\(-1\) 或 \(\sqrt{n-v}\)

   • 当前的高度也一定小于上一层，最大是上一层\(-1\) 或 \(\frac{n-v}{R^{2}}\)

高度中有一个需要根据\(R\)求出所以先枚举\(R\)
\(R \in [ deep , min( ｜\sqrt{n-v}｜, r[deep+1]-1 ) ]\)
\(H \in [ deep , min( \frac{n - v}{ R^{2}} , h[deep +1) -1 ]\)
3. 可行性剪枝
预处理从上往下前 \(i\) 层的最小体积和侧面积，\(1\sim i\) 层的高度和半径最小为\(1,2,\dots,i\)，如果当前的体积加上前 \(i\) 层的最小体积\(>n\)直接回溯

4. 最优性剪枝

   • 若\(i\)层表面积加上前面已经得到的侧面积大于搜索到的答案，剪枝

   • \(1\sim u\)层的体积 = \(1\sim u\)层的面积为

因为\(n-v\)可以求得，所以放缩成用\(n-v\)表示的不等式
当\(\frac{2 \cdot(n-v)}{R_{u+1}}+S\)大于已搜到的答案的时候，剪枝

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