TOPSIS法

1 理想距离的定义

• 理想最优值：当前指标在总体中的最大值
• 理想最劣值：当前指标在总体中的最小值

2 指标正向化处理

• 正向化处理即将指标转换为越大越优的情况

指标类型	指标最优性	常见例子
极大型指标	越大越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型指标	越小越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	PH值
区间型指标	落在某个区间最好	温度、水中营养物量

2.1 极小型转化为极大型

• 极小型数据例如费用、争吵次数等，使用

\[\hat{x}_{i}=max-x_{i} \]

将其转化为极大型，若元素都为正数也可以使用

\[\hat{x}_{i}=\frac{1}{x_{i}} \]

2.2 中间型转化为极大值

• 最佳数值为\(X_{best}\)，

\[M=\max \left\{\left|x_{i}-x_{\text {best}}\right|\right\} \]

之后按照

\[\hat{x}_{i}=1-\frac{x_{i}-x_{b e s t}}{M} \]

2.3 区间型转化为极大型

• 如果最佳区间为\([a,b]\)，可以取

\[M=\max \left\{a-\min \left\{x_{i}\right\}, \max \left\{x_{i}\right\}-b\right\} \]

然后按照以下公式转化

\[\hat{x}_{i}=\left\{\begin{array}{ll}1-\frac{a-x_{i}}{M}, & x_{i}<a \\ 1, & a<x_{i}<b \\ 1-\frac{x_{i}-b}{M}, & x_{i}>b\end{array}\right. \]

3 正向矩阵量纲标准化

• 在将数据全部转化为极大型后，可以使用公式\(\frac{x-\min }{\max -\min }\)来进行打分
• 打分后为了消除不同的量纲对值的影响，将已经正向化的矩阵进行标准化
  • 记\(Z\)为标准化后的正向矩阵

\[z_{i j}=\frac{x_{i j}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i j}^{2}}} \]

4 打分过程

• 正向标准化后的矩阵消除了量纲的影响并且都为极大型矩阵
• 取出每个指标列中的最大值，构成理想最优解向量

\[z^{+}=\left[z_{1}^{+}, z_{2}^{+}, \ldots, z_{m}^{+}\right]=\left[\max \left\{z_{11}, z_{21}, \ldots, z_{n 1}\right\}, \ \ldots, \max \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \ldots, z_{n m}\right\}\right] \]

• 同理取出每个指标列中的最小值，构成理想最劣解向量

\[\begin{aligned} z^{-}=&\left[z_{1}^{-}, z_{2}^{-}, \ldots, z_{m}^{-}\right]=\left[\min \left\{z_{11}, z_{21}, \ldots, z_{n 1}\right\}, \ldots, \min \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \ldots, z_{n m}\right\}\right] \end{aligned} \]

• 对于第\(i\)个样本，计算得到
  • 与最优解的距离为

\[d_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left(z_{j}^{+}-z_{i j}\right)^{2}}，带权d_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}w_{j}\left(z_{j}^{+}-z_{i j}\right)^{2}} \]

与最劣解的距离为

\[d_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left(z_{j}^{-}-z_{i j}\right)^{2}}，带权d_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}w_{j}\left(z_{j}^{-}-z_{i j}\right)^{2}} \]

• 权重的确定使用熵权法进行确定
  • 样本得分

\[\S_{i}=\frac{d_{i}^{-}}{d_{i}^{+}+d_{i}^{-}}（0\leq S_{i}\leq 1） \]

• 可以得到\(d_{i}^{+}\)越小，也就是该方案与最优解的距离越小时，\(S_{i}\)越大；\(d_{i}^{-}\)越小，也就是该方案与最劣解的距离越小时，\(S_{i}\)越小。这种计算方式同时考虑了该方案与最优解和最劣解的距离。