【Hanoi变形】 青蛙过河

传送门

题意

左岸右右岸各一个Hanoi，开始所有青蛙在左岸塔\(L\)上，青蛙一旦跳出这个塔后就不能再回来，青蛙跳上右岸的塔就不能再移动，小溪中\(n\)个塔，\(m\)片叶，塔可以摞任意数量其中其中青蛙的编号满足汉诺塔，叶子只能同一时间只能存在一只青蛙，求最多可以跳过多少只青蛙

数据范围

\(1\leq n \leq 10\)
\(1\leq m \leq 10\)

题解

• 首先考虑没有石柱的情况，即\(n=0\)

  • 当\(m=0\)时，只能跳过一只青蛙，由\(L\)直接跳到\(R\)。

  • 当\(m=1\)时，可以跳过两只青蛙。

    • 过程为：青蛙1从\(L\)跳到荷叶上，青蛙2从\(L\)直接跳到\(R\)，最后青蛙1从荷叶跳到\(R\)。

  • 当\(m=2\)时，可以跳过3只青蛙。过程为：青蛙1从\(L\)跳到荷叶1，青蛙2从\(L\)跳到荷叶2，青蛙3从\(L\)跳到R，青蛙2从荷叶2跳到\(R\)，青蛙1从荷叶1跳到\(R\)。

  • 得出结论：只考虑荷叶时，每增加一片荷叶，跳过的青蛙数加一，即青蛙数为\(m+1\)

• 有石柱的情况

  • 当\(n=1，m=0\)时，可以跳过两只青蛙。过程为：青蛙1从\(L\)跳到石柱上，青蛙2从\(L\)跳到\(R\)，青蛙1从石柱跳到\(R\)。

  • 当\(n=1，m=1\)时，可以跳过4只青蛙。过程为：

    • 步骤1：青蛙1和青蛙2借助荷叶跳到石柱上；

    • 步骤2：青蛙3和青蛙4借助荷叶跳到\(R\)；

    • 步骤3：青蛙1和青蛙2借助荷叶由石柱跳到\(R\)。

  • 当\(n=1，m\)为任意值时，可以跳过\(2 \times (m+1)\)只青蛙

    • 步骤1：前\(m+1\)只青蛙借助荷叶跳到石柱上；

    • 步骤2：后\(m+1\)只青蛙借助荷叶跳到\(R\)；

    • 步骤3：前\(m+1\)只青蛙借助荷叶由石柱跳到\(R\)。

  • 当\(n=2，m\)为任意值时，可以跳过\(4 \times (m+1)\)只青蛙。显然当\(n=1\)时，\(m\)为相同值时可以跳过\(2 \times (m+1)\)只青蛙。那么这个过程可以理解为：

    • 步骤1：前\(2 \times (m+1)\)只青蛙利用荷叶和其中一个石柱（这里设为\(S_{1}\)）从L跳到另外一根石柱(\(S_{2}\))上；

    • 步骤2：后\(2 \times (m+1)\)只青蛙借助荷叶和\(S_{1}\)从\(L\)跳到\(R\)；

    • 步骤3：前\(2 \times (m+1)\)只青蛙从\(S_{2}\)借助荷叶和\(S_{1}\)跳到\(R\)

• 结论：\(n\)个石柱的移动次数是\(n-1\)个石柱移动次数的两倍，\(t=2\times jump(n-1,m)\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int jump(int n,int m)
{
    int t;
    if(n==0)
        t=m+1;
    else {
        t=2*jump(n-1,m);
    }
    return t;
}
int _;
int n,m;

void solve()
{
    cin>>n>>m;
    cout<<jump(n,m)<<endl;
}
int main(){
    cin>>_;
    while(_--) solve();
    return 0;
}