不定积分中的双元法

称 \(p,q\) 为一组双元当且仅当 \(q^2\pm p^2=C\)，则当取负号时 \(p\text{d}p=q\text{d}q\)，否则 \(p\text{d}p=-q\text{d}q\)。

若 \(p\text{d}p=q\text{d}q\)，则 \(\displaystyle\int\dfrac{\text{d}p}{q}=\int\dfrac{\text{d}p+\text{d}q}{p+q}=\ln(p+q)\)，做代换 \(q\to q\text{i}\) 有 \(\displaystyle\int\dfrac{\text{d}p}{q}=\text{i}\ln(p+q\text{i})=\arctan\left(\dfrac{x}{y}\right)\)，此时 \(p\text{d}p=-q\text{d}q\)。

易知 \(\dfrac{\text{d}p}{q}=\dfrac{q\text{d}p-p\text{d}q}{q^2-p^2}\)，再根据分部积分律可以推得 \(\displaystyle p\text{d}q=\dfrac{1}{2}\left(pq+(p^2\pm q^2)\int\dfrac{\text{d}q}{p}\right)\)。同时自然的有 \(\dfrac{\text{d}p}{q^3}=\dfrac{1}{q^2-p^2}\text{d}\left(\dfrac{p}{q}\right)\)。

为解决有关 \(p,q\) 的二元多项式的积分，使用分部积分律可以推得只需解决 \(\displaystyle\int q^n\text{d}p\) 的情况，因为 \(\displaystyle\int q^n\text{d}p=\displaystyle\int (q^2\pm p^2\mp p^2)q^{n-2}\text{d}p=(q^2\pm p^2)\int q^{n-2}\text{d}p\mp(p^3q^{n-2})\)。

后面以后再说。