基于值域预处理的快速 GCD

功能简述

可在 \(\mathcal{O}(v)-\mathcal{O}(1)\) 的时间内多次询问 \(\gcd(n,m)(1\le n,m\le v)\)。

算法过程

定理：对于任意正整数 \(n\)，存在三个正整数 \(a,b,c\) 满足 \(abc=n\) 且 \(a,b\le\sqrt{n}\)，\(c\le\sqrt{n}\) 与 \(c\in\mathbb{P}\) 中有至少一个成立。

证明：

采用数学归纳法，易得 \(n=1\) 时成立。

对于正整数 \(n\)，设 \(p\) 为其最小质因数，\(a',b',c'\) 为 \(\dfrac{n}{p}\) 的一合法分解（\(a'\le b'\le c'\)），则：

• 若 \(p\le\sqrt[4]{n}\)，则因为 \(a'\le\sqrt[3]{\dfrac{n}{p}}\)，所以 \(pa'\le p\sqrt[3]{\dfrac{n}{p}}=\sqrt[3]{np^2}\le\sqrt{n}\)，所以 \(pa',b',c'\) 为一符合条件的解；
• 若 \(p>\sqrt[4]{n}\)，则若 \(a'>p\)，则 \(n=pa'b'c'>p^4>n\)，矛盾！故 \(a'<p\)，而又有 \(p\) 为 \(n\) 的最小质因数，所以 \(a'=1\)，故 \(p,b,c\) 为一符合条件的解。

综上所述，原命题成立。

这也揭示了将 \(n\) 分解为满足上述条件的 \(a,b,c\) 的方法：线性筛后将 \(n\) 最小素因子 \(p\) 乘给 \(\dfrac{n}{p}\) 分解成的三个数中最小的数即可。

所以当询问 \(\gcd(n,m)\) 时，可以将 \(n\) 分解为这样的 \(abc\)，每次求 \(t=\gcd(a/b/c,m)\) 后，将最终结果乘上 \(t\) 并将 \(m\) 除以 \(t\)，即可得解。

具体地，若此时考虑到的数 \(x\) 为素数，则求 \(\gcd(x,m)\) 是简单的；否则必有 \(x\le\sqrt{n}\)，而 \(\gcd(x,m)=\gcd(x,m\bmod x)\)，所以只需预处理出 \(\sqrt{v}\) 内任意两个数的 \(\gcd\) 后 \(\mathcal{O}(1)\) 查询即可。

时间复杂度：\(\mathcal{O}(\sqrt{v}^2)=\mathcal{O}(v)\) 预处理，\(\mathcal{O}(1)\) 查询。