可靠性分析 - 概率论与数理统计基本概念和定理总结_更新中

本文撰写/编辑目的：用于概率论与数理统计相关定义和定理的梳理与查询取用，主要内容均取自概率论与数理统计相关教材。

 

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1. 事件的概率

1.1 概率

1.2 古典概率

1.3 事件的运算、条件概率与独立性

2. 随机变量及概率分布

2.1 一维随机变量

正态分布概率密度函数

 

指数分布概率密度函数

 

 

 

 

2.2 多维随机变量（随机向量）

2.3 条件概率分布与随机变量的独立性

2.4 随机变量的函数的概率分布

3. 随机变量的数字特征

3.1 数学期望与中位数

1）数学期望的性质

（1） 设C是常数，则有E(C)=C。

（2） 设X是一个随机变量，C是常数，则有 E(CX) = CE(X)。

（3） 设X,Y是两个随机变量，则有 E(X+Y) = E(X) + E(Y)。

（4） 设X,Y是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X)E(Y)。

3.2 方差与矩

1）方差的定义

设X为随机变量，分布为F，则

Var(X) = E(X-EX)²

称为X（或分布F）的方差，其平方根√Var(X) (取正值)称为X(或分布F)的标准差。

暂记EX=a，由于(X-a)²=X²-2aX+a²，得

Var(X)=E(X²)-(EX)²

方差的这个形式在计算上往往较为方便。

2）方差的性质

（1）常数的方差为0。

（2）若c为常数，则Var(X+c)=Var(X)。

（3）若c为常数，则Var(cX)=c²Var(X)。

（4）独立随机变量之和的方差等于各变量的方差之和，即

Var(X₁+...+Xn)=Var(X₁)+...+Var(Xn)

3）矩的定义

设X为随机变量，c为常数，k为正整数，则量E[(X-c)^k]称为X关于c点的k阶矩。比较重要的有两种情况：

（1）c=0，这时E(X^k）称为X的k阶原点矩；

（2）c=E(X)，这时E[(X-E(X))^k]称为X的k阶中心矩。

一阶原点矩就是期望，一阶中心距是0，二阶中心矩是方差。在统计学上，高于四阶的矩极少使用，三四阶矩有些应用，但也不很多。

3.3 协方差与相关系数

3.4 大数定理和中心极限定理

4. 参数估计

4.1 数理统计学的基本概念

4.2 矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计

4.3 点估计的优良性准则

4.4 区间估计

5. 假设检验

5.1 问题提法和基本概念

5.2 重要参数检验

5.3 拟合优度检验

 

参考：

1. 陈希孺, 2009, 概率论与数理统计, 中国科学技术大学出版社。