NOI Online 提高组2 题解

官方题解！

我裂开了.jpg

A

\(p1=p2\)特判掉，不妨设\(p1<p2\)。公倍数染\(p2\)的颜色就可以，则最长连续同色段长为\(\lceil\frac{p1/\gcd(p1,p2)+1}{p2/\gcd(p1,p2)+1}\rceil\)，感性理解可以认为\(p1\)的倍数和\(p2\)的倍数分布均匀，也可以直接列式子算。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int gcd(int n,int m){
	return m?gcd(m,n%m):n;
}

int main()
{
	freopen("color.in","r",stdin);
	freopen("color.out","w",stdout);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int p1,p2,k,r,t1,t2;
		scanf("%d%d%d",&p1,&p2,&k);
		if(k<2)printf("No\n");
		else{
			r=gcd(p1,p2);
			t1=p1/r-1,t2=p2/r-1;
			if(t1<t2)swap(t1,t2);
			if((t1+t2)/(t2+1)>=k)printf("No\n");
			else printf("Yes\n");
		}
	}
	return 0;
}

B

转化为区间加，询问全局平方和。维护平方和需要维护区间和。用了线段树，用了map，然后被喜闻乐见地卡常了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
const int N=1e6+6;
const int S=2e6+6;
const int P=1e9+7;

map<int,int>p;
int c[S][2],in[S][2],cnt;
int s[S],qr[S];
int lz[S];

int bld(int l,int r){
	int mid=(l+r)>>1,v=++cnt;
	in[v][0]=l,in[v][1]=r;
	if(l==r)return v;
	c[v][0]=bld(l,mid);
	c[v][1]=bld(mid+1,r);
	return v;
}

void mrk(int v,int t){
	lz[v]+=t;
	(qr[v]+=1ll*(in[v][1]-in[v][0]+1)*t*t%P)%=P;
	(qr[v]+=2ll*t*s[v]%P)%=P;
	(s[v]+=1ll*(in[v][1]-in[v][0]+1)*t%P)%=P;
}

void psh(int v){
	if(lz[v]){
		if(c[v][0])mrk(c[v][0],lz[v]);
		if(c[v][1])mrk(c[v][1],lz[v]);
		lz[v]=0;
	}
}

void add(int v,int l,int r){
	psh(v);
	if(l<=in[v][0]&&in[v][1]<=r){
		mrk(v,1);return;
	}
	if(l<=in[c[v][0]][1])add(c[v][0],l,r);
	if(in[c[v][1]][0]<=r)add(c[v][1],l,r);
	(qr[v]=qr[c[v][0]]+qr[c[v][1]])%=P;
	(s[v]=s[c[v][0]]+s[c[v][1]])%=P;
}

int main()
{
	freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);
	int n,i,x,ans=0;
	scanf("%d",&n);
	int rt=bld(1,n);
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x);
		add(rt,p[x]+1,i);
		(ans+=qr[rt])%=P;
		p[x]=i;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

C

大手一挥二项式反演！求至少分出胜负\(k\)次的方案数，剩下就是树形背包！写了个\(O(n^3)\)的树形背包……

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=5e3+3;
const int P=998244353;

vector<int>e[N];
int f[N][N];
int qs[N][2],s[N];
char c[N];
int ans[N];
int C[N][N];

void dfs(int v,int p){
	int i,j,k;
	qs[v][c[v]-'0']=1;
	s[v]=1;
	f[v][0]=1;
	for(i=0;i<e[v].size();i++)
		if(e[v][i]!=p){
			dfs(e[v][i],v);
			qs[v][0]+=qs[e[v][i]][0],
			qs[v][1]+=qs[e[v][i]][1];
			s[v]+=s[e[v][i]];
			for(j=s[v];j;j--)
				for(k=1;k<=s[e[v][i]]&&k<=j;k++)
					(f[v][j]+=1ll*f[e[v][i]][k]*f[v][j-k]%P)%=P;
		}
	for(j=qs[v][(c[v]-'0')^1];j>=0;j--)
		(f[v][j+1]+=1ll*f[v][j]*(qs[v][(c[v]-'0')^1]-j)%P)%=P;
}

int main()
{
	freopen("match.in","r",stdin);
	freopen("match.out","w",stdout);
	int n,i,j,u,v;
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s",c+1);
	for(i=1;i<n;i++)
		scanf("%d%d",&u,&v),
		e[u].push_back(v),
		e[v].push_back(u);
	dfs(1,0);
	int fct=1;
	for(i=n/2;i>=0;i--)
		ans[i]=1ll*f[1][i]*fct%P,
		fct=1ll*fct*(n/2-i+1)%P;
	for(i=1;i<=n/2;i++){
		C[i][0]=1;
		for(j=1;j<i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
		C[i][i]=1;
	}
	for(i=n/2;i>=0;i--)
		for(j=n/2;j>i;j--)
			(ans[i]+=P-1ll*C[j][i]*ans[j]%P)%=P;
	for(i=0;i<=n/2;i++)
		printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}