0904

今天晚上又做了一题

https://www.luogu.com.cn/problem/P2051

以前做过八皇后，这个有点像，不过要用DP

放多少个炮是随意的，甚至可以不放

显然每行、每列最多两个炮

f_a,b,c表示目前进行到a行，b行放了1个炮，c行放了2个炮，因此a-b-c行一个炮都没有放

那么状态转移方程怎么推呢？

需要极其繁杂的分类讨论，见下：

1.这一行啥都不放 f[i][j][k]=f[i-1][j][k] 显然

2.这一行放一个

　　（1）放在有一个炮的列 f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1) 

　　　　  这是因为放之后这一列不能再放了，因此要在j+1个列放炮，这样就变成了j个

　　　　  同理的，有两个炮的列有k-1个，才能使放炮后有k个这样的列

　　　　  另外，放在哪一列有j+1种可能，因此方程得以推出

　　（2）放在啥都没有的列 f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-j+1-k)

　　　　  原理大同小异，m-j+1-k其实应当是m-(j-1)-k，表示空列的数量

3.这一行放两个

　　（1）一个放在有炮的列，一个放在没炮的列 f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1)

　　　　  显然有一个炮的列的数量不会变，有两个炮的列多了一个

　　　　  根据乘法原理，目前有一个炮是j个，没炮m-j-(k-1)个，因此分别乘它们

　　（2）都放在有一个炮的列 f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2)

　　　　  同理，只不过乘数其实是C²_j+2 ，通过初赛知识容易想到

　　　　  写了一个C函数，C(x)表示C²_x

　　（3）都放在啥没有的列 f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-j-k+2);

　　　　  同上

然后求和，注意随时取模

这道题感觉就是状态稍微有点难想，然后很复杂

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define MD 9999973
#define int long long
using namespace std;
int n,m,ans;
int f[101][101][101];
int C(int x)
{
    return ((x*(x-1))/2)%MD;
}
signed main()
{
    cin>>n>>m;
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;k<=m-j;k++)
            {
                f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
                if(k>=1) f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1);
                if(j>=1) f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1);
                if(k>=2) f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2);
                if(k>=1) f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1);
                if(j>=2) f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-j-k+2);
                f[i][j][k]%=MD;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            (ans+=f[n][i][j])%=MD;
        }
    }
    cout<<(ans+MD)%MD<<endl;
    return 0;
}