2020牛客暑期多校训练营（第五场）
目录
Contest Info
| Solved | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8 / 11 | Ø | O | Ø | O | O | O | - | Ø | O | - | - |
- O 在比赛中通过
- Ø 赛后通过
- ! 尝试了但是失败了
- - 没有尝试
Solutions
A. Portal
题意：
给出一张\(n\)个点，\(m\)条边的无向图，现在有\(k\)个认为，每个任务给定\(u_i,v_i\)，意即要先到\(u_i\)，然后再到\(v_i\)。
现在可以在当前所在位置设置传送门，两个传送门之间可以瞬时传送，图上最多存在两个传送门。
问从\(1\)号点出发，完成所有任务的最小路径。
思路：
朴素解法：\(dp[i][j][p]\)表示当前在点\(i\)，在做任务\(j\)并且\(p\)位置有个传送门。那么可以直接分情况进行转移。但是复杂度为\(O(n^4)\)。
考虑同一个阶段的两个子任务是等价的，所以将他们拆分为两个任务，所以现在任务就变为了从一个点到另外一个点。这样的话我们可以减少一维“位置”的状态，因为起点和终点固定，所以可以直接通过枚举中间点进行转移。
时间复杂度为\(O(n^3)\)。
Code
// Author : heyuhhh
// Created Time : 2020/07/25 15:29:35
#include<bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 300 + 5;
int n, m, k;
ll dis[N][N];
ll dp[N << 1][N];
void chkmin(ll& x, ll y) {
if (x > y) x = y;
}
void run() {
cin >> n >> m >> k;
memset(dis, INF, sizeof(dis));
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, W;
cin >> u >> v >> W;
if ((ll)W <= dis[u][v]) {
dis[u][v] = dis[v][u] = W;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dis[i][i] = 0;
}
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
}
}
}
vector<int> vs;
vs.push_back(1);
for (int i = 0; i < k; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
vs.push_back(u);
vs.push_back(v);
}
int sz = sz(vs);
memset(dp, INF, sizeof(dp));
ll MAX = ll(0x3f3f3f3f3f3f3f3f);
dp[0][1] = 0;
for (int i = 0; i < sz - 1; i++) {
int u = vs[i], v = vs[i + 1];
for (int p = 1; p <= n; p++) {
if (dp[i][p] != MAX) {
chkmin(dp[i + 1][p], dp[i][p] + dis[u][v]);
chkmin(dp[i + 1][p], dp[i][p] + dis[p][v]);
for (int q = 1; q <= n; q++) {
chkmin(dp[i + 1][q], min(dp[i][p] + dis[u][q] + dis[p][v], dp[i][p] + min(dis[u][q], dis[p][q]) + dis[q][v]));
}
}
}
}
ll ans = MAX;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans = min(ans, dp[sz - 1][i]);
}
cout << ans << '\n';
}
int main() {
#ifdef Local
freopen("input.in", "r", stdin);
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
B. Graph
有这样一个性质，任一时刻，连接两点\((u,v)\)他们的边权值都是相等的。
证明：考虑现在添加一条边有多个环，那么显然这条边的权值只有一个，也就是其余所有路径上的边异或值相等，那么就容易发现任一状态这条边的权值都是相等的。
然后就是异或最小生成树。可以直接通过字典序自底向上合并即可。每次合并就贪心找权值最小的合并。
Code
// Author : heyuhhh
// Created Time : 2020/07/25 18:53:18
#include<bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
int n;
vector<pii> G[N];
int a[N];
void dfs(int u, int fa, int val) {
a[u] = val;
for (auto it : G[u]) {
int v = it.fi, w = it.se;
if (v == fa) continue;
dfs(v, u, val ^ w);
}
}
int ch[N * 31][2];
int tot;
void insert(int x) {
int p = 0;
for (int i = 29; i >= 0; i--) {
int op = 0;
if (x >> i & 1) {
op = 1;
}
if (!ch[p][op]) {
ch[p][op] = ++tot;
}
p = ch[p][op];
}
}
ll ans;
int calc(int p1, int p2, int dep) {
int res = INF;
if (ch[p1][0] && ch[p2][0]) {
res = calc(ch[p1][0], ch[p2][0], dep - 1);
}
if (ch[p1][1] && ch[p2][1]) {
res = min(res, calc(ch[p1][1], ch[p2][1], dep - 1));
}
if (res != INF) return res;
if (ch[p1][0] && ch[p2][1]) {
res = min(res, calc(ch[p1][0], ch[p2][1], dep - 1) + (1 << dep));
}
if (ch[p1][1] && ch[p2][0]) {
res = min(res, calc(ch[p1][1], ch[p2][0], dep - 1) + (1 << dep));
}
if (res == INF) res = 0;
return res;
}
void work(int p, int dep) {
if (ch[p][0]) {
work(ch[p][0], dep - 1);
}
if (ch[p][1]) {
work(ch[p][1], dep - 1);
}
if (ch[p][0] && ch[p][1]) {
ans += (1 << dep);
ans += calc(ch[p][0], ch[p][1], dep - 1);
}
}
void run() {
cin >> n;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
++u, ++v;
G[u].push_back(MP(v, w));
G[v].push_back(MP(u, w));
}
dfs(1, 0, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
insert(a[i]);
}
work(0, 29);
cout << ans << '\n';
}
int main() {
#ifdef Local
freopen("input.in", "r", stdin);
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
C. Easy
题意：
求两个正整数序列\(A,B\)，满足\(\sum_{i=1}^ka_i=n,\sum_{i=1}^kb_i=m\)时，\(\sum\prod_{i=1}^{k}min(a_i,b_i)\)的值。
\(n,m\leq 10^6\)。
思路：
愉快的推公式题，考虑二元生成函数，我们首先来求\(\displaystyle f(x,y)=\sum_{i=1}^{\infin}\sum_{j=1}^{\infin}min(i,j)x^iy^j\)的值，那么\([x^ny^m]f(x)^k\)即是答案。
这种我们肯定首先考虑将min拆开，所以有：
\[\begin{aligned}
f(x,y)=&\sum_{i=1}^{\infin}ix^iy^i+\sum_{i=1}^{\infin}\sum_{j=i+1}^{\infin}ix^iy^j+\sum_{j=1}^{\infin}\sum_{i=j+1}^{\infin}jx^iy^j\\
=&\sum_{i=1}^{\infin}i(xy)^i[1+y+y^2+\cdots+x+x^2+\cdots]\\
=&(\frac{y}{1-y}+\frac{x}{1-x}+1)\cdot \frac{xy}{(1-xy)^2}\\
=&\frac{xy}{(1-x)(1-y)(1-xy)}
\end{aligned}
\]
这个推出来那么后面就比较简单了，因为要求\(f(x,y)^k\)，我们首先看\(\displaystyle\frac{xy}{1-xy}\)，这个就等于\(\displaystyle \sum_{i=1}^{\infin}x^iy^i\)，很容易求出对其\(k\)次方过后对应项的系数，根据二项式定理和组合数算一下就行，剩下的不够\(n,m\)的直接从\(\frac{1}{1-x},\frac{1}{1-y}\)里面补就行。
Code
// Author : heyuhhh
// Created Time : 2020/07/25 21:05:25
#include<bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e6 + 5, MOD = 998244353;
int qpow(ll a, ll b) {
ll res = 1;
while(b) {
if(b & 1) res = res * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return res;
}
int fac[N], inv[N];
void init() {
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i < N; i++) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % MOD;
inv[N - 1] = qpow(fac[N - 1], MOD - 2);
for(int i = N - 2; i >= 0; i--) inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}
int C(int n, int m) {
return 1ll * fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}
int n, m, k;
int calc(int x) {
return C(x + k - 1, k - 1);
}
void run() {
cin >> n >> m >> k;
int ans = 0;
for (int i = 0; i + k <= min(n, m); i++) {
ans = (ans + 1ll * C(k - 1 + i, k - 1) * calc(n - (i + k)) % MOD * calc(m - (i + k)) % MOD) % MOD;
}
cout << ans << '\n';
}
int main() {
#ifdef Local
freopen("input.in", "r", stdin);
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
init();
int T; cin >> T; while(T--)
run();
return 0;
}
D. Drop Voicing
操作就等价于将一个数插入在任意一个位置。
那么直接枚举所有可能循环，求lis即可。
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define LC k<<1
#define RC k<<1|1
typedef long long LL;
const int N=510;
const int M=1100000;
const LL mod=1e9+7;
int n;
int a[N],b[N], f[N];
int ans;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]),a[i]--;
ans=n;
for (int i=0;i<n;i++)
{
int tmp=1;
for (int j=0;j<n;j++)
b[(i+j)%n]=a[j];
for (int j = 0; j < n; j++) {
f[j] = 1;
}
for (int j = 1; j < n; j++) {
for (int k = 0; k < j; k++) {
if (b[j] > b[k])
f[j] = max(f[j], f[k] + 1);
}
tmp = max(tmp, f[j]);
}
ans=min(ans,n - tmp);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
E. Bogo Sort
对所有环长求lcm即是答案，不用取模。
Code
n = int(input())
a = input().strip().split(" ")
pp = [0 for _ in range(n)]
for i in range(n):
a[i] = int(a[i]) - 1
ans = 1
pw = 1
for i in range(n):
pw = pw * 10
flag = False
for i in range(n):
if pp[i] == 0:
now = i
len = 0
mx = 0
num = 0
last = -1
tmp = []
while pp[now] == 0:
tmp.append(now)
pp[now] = 1
if now > last:
last = now
else:
last = now
num += 1
if num == 1:
if tmp[-1] > tmp[0]:
flag= True
elif num > 1:
flag = True
now = a[now]
len += 1
if flag:
ans = 0
break
ans = ans * len
print(ans % pw)
F. DPS
签到。
Code
H. Interval
题意：
给定一个序列\(A\)，然后会有若干组询问，每组询问一段区间\([l,r]\)，回答区间中连续子区间中的数的交一共有多少种。强制在线。
思路：
有一个比较重要的性质：
- 固定一个区间的左端点，那么不同的数一共只会有\(O(logA)\)种。
所以一共只会有\(O(nlogA)\)种数值，我们把每种数值的区间扣出来，那么对于一个区间查询而言实际上就是一个普通二位偏序，可以通过主席树解决。
问题在于如何去重，比如一个区间覆盖了\([l_1,r_1],[l_2,r_2],[l_3,r_3]\)这三段，但实际上贡献只会产生\(1\)。这里实际上是个小技巧，我们只需要新增加贡献为\(-1\)的\([l_1,r_2],[l_2,r_3]\)即可。
时间复杂度和空间复杂度都是\(O(nlog^2n)\)的。
细节见代码：
Code
// Author : heyuhhh
// Created Time : 2020/07/26 11:22:01
#include<bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
int n;
int f[N][20], lg[N];
void init() {
lg[2] = 1;
for (int i = 3; i < N; i++) {
lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
}
for (int j = 1; j < 20; j++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (i + (1 << (j - 1)) <= n) {
f[i][j] = (f[i][j - 1] & f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
}
}
}
int query(int l, int r) {
int k = lg[r - l + 1];
return (f[l][k] & f[r - (1 << k) + 1][k]);
}
map<int, vector<pii>> mp;
vector<pii> v[N];
int rt[N], tot;
int lc[N * 30 * 23], rc[N * 30 * 23], sumv[N * 30 * 23];
void build(int &o, int l, int r) {
o = ++tot;
if(l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
build(lc[o], l, mid); build(rc[o], mid + 1, r);
}
void insert(int& o, int last, int l, int r, int p, int v) {
o = ++tot;
lc[o] = lc[last], rc[o] = rc[last];
sumv[o] = sumv[last] + v;
if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
if (p <= mid) insert(lc[o], lc[last], l, mid, p, v);
else insert(rc[o], rc[last], mid + 1, r, p, v);
}
int query(int o, int l, int r, int L, int R) {
if (!o) return 0;
if (L <= l && r <= R) {
return sumv[o];
}
int res = 0;
int mid = (l + r) >> 1;
if (L <= mid) {
res += query(lc[o], l, mid, L, R);
}
if (R > mid) {
res += query(rc[o], mid + 1, r, L, R);
}
return res;
}
void run() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> f[i][0];
}
init();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = i; j <= n; j++) {
int l = j + 1, r = n + 1, mid;
int k = query(i, j);
while (l < r) {
mid = (l + r) >> 1;
if (query(i, mid) == k) l = mid + 1;
else r = mid;
}
mp[k].push_back(MP(i, j));
// cout << k << ' ' << i << ' ' << l - 1 << '\n';
j = l - 1;
}
}
for (auto it : mp) {
sort(all(it.se), [&](pii A, pii B) {
if (A.fi != B.fi) return A.fi < B.fi;
return A.se < B.se;
});
vector<pii>& now = it.se;
for (int i = 0; i < sz(now); i++) {
v[now[i].se].push_back(MP(now[i].fi, 1));
if (i) {
v[now[i].se].push_back(MP(now[i - 1].fi, -1));
}
}
}
build(rt[0], 1, n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sort(all(v[i]));
rt[i] = rt[i - 1];
for (auto it : v[i]) {
insert(rt[i], rt[i], 1, n, it.fi, it.se);
}
}
int q; cin >> q;
int lastans = 0;
while (q--) {
int l, r;
cin >> l >> r;
l = (l ^ lastans) % n + 1;
r = (r ^ lastans) % n + 1;
if (l > r) swap(l, r);
int ans = query(rt[r], 1, n, l, r);
cout << ans << '\n';
lastans = ans;
}
}
int main() {
#ifdef Local
freopen("input.in", "r", stdin);
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
I. Hard Math Problem
答案就为\(\frac{2}{3}\)。
主要思路就是一个E周围贡献四个H，G用来匹配已经产生了贡献的H，那么相当于一个G对应零个H，所以总的比例就为\(\frac{2}{3}\)。
Code
// Author : heyuhhh
// Created Time : 2020/07/25 12:31:21
#include<bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
void run() {
cout << "0.666667" << '\n';
}
int main() {
#ifdef Local
freopen("input.in", "r", stdin);
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cout << fixed << setprecision(20);
run();
return 0;
}
重要的是自信，一旦有了自信，人就会赢得一切。
