Problem A: 最大连续子序列

Description

给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。现在增加一个要求，即还需要输出该子序列的第一个和最后一个元素。

Input

测试输入包含若干测试用例，每个测试用例占2行，第1行给出正整数K( K<= 10000 )，第2行给出K个整数，中间用空格分隔，每个数的绝对值不超过100。当K为0时，输入结束，该用例不被处理。

Output

对每个测试用例，在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元素，中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一，则输出序号i和j最小的那个（如输入样例的第2、3组）。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素。

Sample Input

5
-3 9 -2 5 -4
3
-2 -3 -1
0

Sample Output

12 9 5
0 -2 -1

HINT

这是一道稍微有点难度的动态规划题。

首先可以想到的做法是枚举每个区间的和，预处理sum[i]来表示区间[1, i]的和之后通过减法我们可以O(1)时间获得区间[i, j]的和，因此这个做法的时间复杂度为O(n^2)。

然后这题的数据范围较大，因此还需作进一步优化才可以AC。记第i个元素为a[i]，定义dp[i]表示以下标i结尾的区间的最大和，那么dp[i]的计算有2种选择，一种是含有a[i-1]，一种是不含有a[i-1]，前者的最大值为dp[i-1]+a[i]，后者的最大值为a[i]。而两者取舍的区别在于dp[i-1]是否大于0。

 

最终AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10005;
long long int dp[maxn], f[maxn];
int main(){
    int i, k, low, high;
    while(scanf("%d", &k), k!=0){
        for(i=0; i<k; i++) scanf("%lld", &f[i]);
        dp[0] = f[0]; //边界 
        for(i=1; i<k; i++) dp[i] = max(f[i], f[i]+dp[i-1]); //得到上界 
        high = 0;
        for(i=1; i<k; i++) if(dp[i] > dp[high]) high = i; //找到最大值
        if(dp[high] < 0) printf("0 %lld %lld\n", f[0], f[k-1]); //全为负数 
        else{  
            low = high;
            for(i=high; i>0; i--) if(dp[i-1] <= 0){ //找下界 
                low = i;
                break;
            }
            printf("%lld %lld %lld\n", dp[high], f[low], f[high]);
        }
    }
    return 0;
}

这是一个经典的动态规划问题的改版。看了《算法笔记》对应的那个经典题目，然后做的这个题。但是奈何自己太菜，提交的代码总是错误50%，于是代码逻辑越写越复杂。。。。后来，再去看一遍《算法笔记》中的代码，发现自己的代码有很多赘余的地方，思路也很乱，便删掉原来写的代码，重新写一遍，最终得到如上版本。

值得注意的一些技巧：

找最大的数和：

high = 0;
for(i=1; i<k; i++) if(dp[i] > dp[high]) high = i; //找到最大值

这里不是记录最大数，然后每次比较后决定是否更新这个最大数，而是直接记录下标！

找下界：

low = high;
for(i=high; i>0; i--) if(dp[i-1] <= 0){ //找下界 
    low = i;
    break;
}

这里判断的依据是，第i-1个位置的dp值小于等于0，则得到了下界！