跳跃表

跳跃表: 一种基于有序链表的扩展。

基本思想：

查找：

首先链表是有序的，在此基础上，从原有链表中均匀的提取一般的节点组成新的链表。然后，在新的链表上继续均匀提取一半节点作为新链表，直到最终新链表的长度为2. 这样做的目的为： 相当于对有序链表建立索引，每次通过与索引节点比较，可以快速确定查找节点。

 

 

 查找的时间复杂度维 log(N)：因为每次提取的新链表长度为前一个链表长度的一半，所以从最上层的链表开始查找，相当于二分查找法的反向过程，二分查找的时间复杂度为logn，所以跳跃表的查找时间复杂度也为logn。 还有一种理解方式：

　　查找时间复杂度 = 索引层高度 *  每层比较元素个数。

　　索引层高度为： n个元素，按照n/2, n/4, n/8... n/(2^k)的层次划分,第k层元素的个数为n/(2^k),最后一层有两个元素，则2=n/(2^k),得出k = logn-1,即最后一层高度为logn-1，再加上原始的一层，所以总高度为logn。

　　每层比较元素的个数：由于每层两个节点限定了上一层（如 2层到1层）的查找只能在这两个节点范围之间进行，而上一层这两个区间的节点最多只有一个，所以每层最多遍历2次，所以 总的时间复杂度为 ： logn * 2 = logn.

空间复杂度为 n：每次扩展出来的链表空间依次为：n/2+n/4+n/8+... = n

 

插入： 

插入的具体思想为： 从第一层索引开始，是否需要插入该层采用抛硬币的方法决定是否需要插入，即插入第k层的概率为1/(2^k).如果从某一层由概率算出该层不需要插入，则停止。

　　在实际设计时，一般通过一个randomLevel函数直接算出需要插入到第几层，该函数思想为，产生1的概率为，1/2,产生2的概率为1/4，产生k的概率为1/(2^k)。产生出来的值即为需要插入到的层数。这样就可以事先知道需要插入的层数，在查找过程中直接插入。一般可实现为：

// 该 randomLevel 方法会随机生成 1~MAX_LEVEL 之间的数，且 ：
//        1/2 的概率返回 1
//        1/4 的概率返回 2
//        1/8 的概率返回 3 以此类推
private int randomLevel() {
  int level = 1;
  // 当 level < MAX_LEVEL，且随机数小于设定的晋升概率时，level   1
  while (Math.random() < SKIPLIST_P && level < MAX_LEVEL)
    level += 1;
  return level;
}

有如下现象： 一级索引中元素的个数等于 [ 原始链表元素个数 ] * [ randomLevel() 方法返回值 > 1 的概率 ]。因为 randomLevel() 方法返回值 > 1就会建索引，凡是建索引，无论几级索引必然有一级索引，所以一级索引中元素个数占原始数据个数的比率为 randomLevel() 方法返回值 > 1 的概率。对二级索有：二级索引中元素个数占原始数据个数的比率为 randomLevel() 方法返回值 > 2的概率。

由此，SKIPLIST_P 决定了下一层索引元素占上一层元素个数比例，这样概率决定了比例。

如果需要节省空间，SKIPLIST_P可以适当缩小。redis中,起值为1/4.

 

时间复杂度：

　　插入一个单链表的时间复杂度为O(1)，在最坏的情况下，每一层都要插入，层的高度为logn，则时间复杂为logn。

 

删除：

　　单链表的删除时间复杂度为O（1），最坏情况下，每一层都有要删除的元素，时间复杂度为Logn