错排

定义

n个有序的元素应有n!个不同的排列，如若一个排列使得所有的元素不在原来的位置上，则称这个排列为错排；有的叫重排。

错排公式

用\(D_n\)表示n个元素错排的方案数，容易得到\(D_1=0,D_2=1\)
考虑第n个元素，在错拍中，它可以放的的位置是1~n-1，假设它放在位置m(\(1\le m \le n-1\))，
那么此时原来位置m上的元素有两种方法，
1）m放在位置n，此时相当于对剩下的n-2个元素错排，方案数为\(D_{n-2}\)
2) m不放在n，此时相当于对这n-1个元素错排，(因为这n-1个元素，每个元素都对应着一个不能放的位置，符合错排的定义)，方案数为\(D_{n-1}\)
m的选法有n-1种。

所以有$$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$$

由上面的公式，我们有\(D_n-nD_{n-1}=(-1)^n\)
即，$$D_n=nD_{n-1}+(-1)^n$$