同余

定义：

若\((a-b)\ mod\ p=0\)，则\(a\)与\(b\)在模\(p\)的意义下同余，记作\(a\equiv b(mod\ p)\)。(\(a,c\in Z\)(整数)，\(m\in N^*\)(正整数))

性质：

1.\(a\equiv a(mod\ p)\)

2.若\(a\equiv b(mod\ p)\)，则\(b\equiv a(mod\ p)\)

3.若\(a\equiv b(mod\ p)\)，且\(b\equiv c(mod\ p)\)，则\(a\equiv c(mod\ p)\)

令\(a=kp+r\)，\(b=k_1p+r\)，\(c=k_2p+r\)，则有\(a-c=k_3p\)，即 \(a\equiv c(mod\ p)\)

4.若\(a\equiv b(mod\ p)\)，且\(c\equiv d(mod\ p)\)，则\(a\pm c\equiv b\pm d(mod\ p)\)

证法与3相同

5.若\(a\equiv b(mod\ p)\)，且\(c\equiv d(mod\ p)\)，则\(ac\equiv bd(mod\ p)\)

令\(a=kp+r\)，\(b=k_1p+r\)，\(c=k_2p+r_1\)，\(d=k_3+r_1\)，则有\(ac=k_4p+rr_1\)，\(bd=k_5p+rr_1\)，即\((ac-bd)mod\ p=0\)

6.如果\(ac\equiv bc(mod\ p)\)，且 c和p互质，则有\(a\equiv b(mod\ p)\)

若\(c\)和\(p\)互质，则存在\(c^{\prime}\)使得\(c^{\prime}c \equiv 1\)（逆元），对于\(ac\equiv bc(mod\ p)\)，两边同乘以\(c^{\prime}\)，得到\(acc^{\prime}\equiv bcc^{\prime}(mod\ p)\)，由于\(acc^{\prime}\equiv a\)以及\(bcc^{\prime}\equiv b\)，即可得到\(a\equiv b(mod\ p)\)。

7.若\(a\equiv b(mod\ p)\)，则\(a^c\equiv b^c(mod\ p)\)(\(c\in N\))

由第3条性质可得该性质

8.若\(a-b\equiv c(mod\ p)\)，则\(a\equiv c+b(mod\ p)\)

9.若\(a\equiv b(mod\ p)\)，且\(m|p\)，则\(a\equiv b(mod\ m)\)

令\(a=kp+r\)，\(b=k_1p+r\)
\(\because m|p\)
\(\therefore a=k_2m+r\)，\(b=k_3m+r\)

10.\(ad\equiv bd\ (mod\ pd)\ \Leftrightarrow\ a\equiv b\ (mod\ p)\)

先证分配律：\((a\ mod\ p)d=ad\ mod\ pd\)
\(令a=kp+r\)，则\((a\ mod\ p)d=dr\)
\(ad=kdp+dr\)，则\(ad\ mod\ pd=dr\)证毕
\(a\ mod\ p=b\ mod\ p\Leftrightarrow(a\ mod\ p)d=(b\ mod\ p)d\Leftrightarrow(ad\ mod\ pd)=(bd\ mod\ pd)\)

11.\(ad\equiv bd(mod\ p)\Leftrightarrow a\equiv b(mod\frac{p}{gcd(d,m)})\)

结合6，10可得

12.\(a\equiv b(mod\ p)\)且\(a\equiv b(mod\ q)\Leftrightarrow a\equiv b(mod\ lcm(p,q))\)

若a-b是p和q的一个公倍数，那么它就是lcm(q,p)的公倍数

13.\(a=b(mod\ pq)\Leftrightarrow a=b(mod\ p)\)且\(a=b(mod\ q)\)，如果\(p\perp q\)

此时\(lcm(q,p)=qp\)

剩余类，完全剩余系，缩剩余系

• 剩余类：

对于所有模n余r的整数，我们可以将其分为n类，
那么\(\bar{r}_n=\{k\in Z|kn+r\}\)就为n余r剩余类。

比如模5的一个剩余类\(\cdots,-5,0,5,10,\cdots\)

• 完全剩余系：

若从\(\bar{0}_n,\bar{1}_n,\bar{2}_n,\cdots,\bar{(n-1)}_n\)中各挑选出一个数，便组成了模n的完全剩余系。
\(R(n)=\{0,1,2,\cdots,n-1\}\)称为模n的最小非负完全剩余系。

比如模5的一个(最小非负)完全剩余系0,1,2,3,4

• 缩剩余系

对于模n的完全剩余系，取所有与n互质的数，即为模n的缩剩余系\(\Phi_n\)。
\(\Phi_n=\{c_1,c_2,\cdots,c_{\Phi(n)}\}\)
若缩剩余系\(\Phi_n\)满足\(c_i\in [i,n-1]\)，那么就称为模n的最小正缩剩余系。

比如模6的一个(最小正)缩剩余系1,5

剩余系

所谓“剩余系”，就是指对于某一个特定的正整数n，一个整数集中的数模n所得的余数域。(完全剩余系的子集)

剩余系的应用

我们可以用整数x表示成为关于一组互素的模的剩余(余数)序列：

\[\begin{equation*} Res(x)=x\ mod\ m=(x\ mod\ m_1,\cdots,x\ mod\ m_r),对1\le j<k\le r有m_j\perp m_k且m=m_1\cdots m_r \end{equation*}\]

这玩意有啥用呢？
我们先来看下仅有模3和模5的剩余系的小情形：

x mod 15	x mod 3	x mod 5
0	0	0
1	1	1
2	2	2
3	0	3
4	1	4
5	2	0
6	0	1
7	1	2
8	2	3
9	0	4
10	1	0
11	2	1
12	0	2
13	1	3
14	2	4

带入上面的公式可得：\(Res(13)=13mod15=(1,3),Res(7)=7mod15=(1,2),\cdots\)
我们可以发现任意一个有序对(x mod 3,x mod 5)对应的Res(x)都是不同的，即它们是一一对应的关系。
因为\(x\ mod\ 3=y\ mod\ 3且x\ mod\ 5=y\ mod\ 5\Leftrightarrow x\ mod\ 15=y\ mod 15\)

假设有两个数x,y，满足：
\(x\ mod\ 3=y\ mod\ 3且x\ mod\ 5=y\ mod\ 5\ 及\ x\ mod\ 15\neq y\ mod 15\)
但这是不可能的

根据同余式的规则，我们可以在两个分量上独立的执行加，减，乘。例如：
用13=(1,3)乘7=(1,2) mod 15，就计算1*1 mod 3=1，2*3 mod 5=1即(1,1)=1，
这说明7*13 mod 15 必定等于1。

13%3=1   7%3=1
13%5=3   7%5=2
\(\quad\quad\Downarrow\)
\(13\equiv 1\quad 7\equiv 1\ (mod\ 3)\Rightarrow 13*7\equiv 1\ (mod\ 3)\)
\(13\equiv 3\quad 7\equiv 2\ (mod\ 5)\Rightarrow 13*7\equiv 6\equiv 1\ (mod\ 5)\)
\(\quad\quad\Downarrow\)
\(13*7\equiv 1\ (mod\ 15)\)

参考博客同余