刷题总结——动态规划

总论

怎么求解？

• 回溯
• 记忆化搜索
• 递推(方便进行空间复杂度优化)

求什么？

• 方案数
• 最大值
• 最小值

状态方程

对应关系：

• 转移状态的定义（回溯入口）
• 边界条件（边界状态如何递推得到其实状态，回溯的终止条件）
• 如果递推公式是求最小，边界初始化成INT_MAX_ * 如果递推公式求最大，边界为0或1
• 如果是乘法，需要处理负数正数两种状态
• 取一个特例: 从单个元素角度看一下

空间复杂度优化

• O(mn)->O(n) 滚动数组，注意方向
• O(mn)->O(1) 单个变量记录状态

分类

分类	递推公式	边界条件	备注
爬楼梯（方案数）	dp(i) = dp(i-1) + dp(i-2)	起始位置f(0), f(1), f(2)	O(n), 加法原理+取余
打家劫舍（选与不选）	dp(i) = max(dp(i-1), + dp(i-2)+value[i-1])	起始位置	O(n), 选与不选
最大子数组和（选与不选）	dp(i) = max(nums(i), dp(i-1)+nums(i-1));	无需处理	Kadane算法，还有前缀和做法（滑动窗口找当前前缀和减当前最小前缀和）
网格dp	dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + frame[i-1][j-1];	起始位置+最左和最上的边界	O(n)(m),通常是2D网格，注意空间优化
0-1背包（选与不选）	dp[i] = max(dp[i-1][c], dp[i-1][c-w[i]]+v[i])	起始位置与默认值	O(n)(value), 空间复杂度优化
完全背包（选与不选）	dp[i] = max(dp[i-1][c], dp[i][c-w[i]]+v[i])	起始位置与默认值	O(n)(value), 空间复杂度优化
多重/分组背包（选几次）	dp[i] = \sum{dp[i-1][j-v*i]} for i=1..k	起始位置dp(0)(0)=1默认值0	O(n)(value)，同一物品可选k次，空间复杂度与其他背包一样,多重背包k在外面，分组k在里面
线性序列dp (LCS, LIS问题，2个字符串s1(:i), s2(:j)的关系)	dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);	边界条件多1行1列，初始值受问题影响	O(m)(n), 一般是在数组前缀和后缀上转移的，空间复杂度优化
状态机dp	f[i][j]为第i天在j状态下，需要与i-1天建立联系，如股票买卖	边界条件，可能为-∞	O(n), 画状态图，适合dfs
划分型dp
区间dp	dp[i][j]=dp[i+1]dp[j-1]+2;``dp[i][j]=max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])	边界条件主要是允许区间越界的地方如何表示（上三角矩阵），和循环变量增长的方向。	O(m)(n), 从小区间转移到大区间

最长递增子序列LIS问题的优化

• 从O(n2)到O(n)，思路：交换状态与状态值
  • O(n2): 状态是以i为结尾元素的LIS的长度
  • O(n): 状态是长度为i+1的序列里面构成的上升子序列结尾元素最小值（最小值，才有机会扩展序列）贪心+二分
    注意此时记录的额外空间g(n)不是子序列

带特殊数据结构的DP

• 前缀和优化
• 单调栈优化
• 单调队列优化
• 树状数组优化

参考资料

1. https://leetcode.cn/circle/discuss/tXLS3i/