单调队列优化dp

如果一个选手比你小还比你强，你就可以退役了。

有人高一了，学会了单调队列优化dp，这下是真被单调队列了😅

能用单调队列优化dp的问题一般都是滑动窗口的形式：写出朴素 dp 转移式后发现本质上是在一段长度固定且连续的单调区间中找最值（单调区间指区间移动方向是单调增减的），这个时候就能考虑单调队列优化，将复杂度降一个 \(O(n)\)。线段树能做的操作多一些，优先队列只能处理 \(dp[j]\) 转移过来的值与 \(i\) 无关的情况，但处理的区间可以不连续，线段树也是。

做题思路的话就是一定要先写出朴素dp转移式，然后观察能不能转化成类似滑动窗口的形式。dp优化题都是这样的，但是如果你发现转移式根本拆不开，根本想不到怎么优化，可以考虑重新从优化的角度设一个新的能被优化的状态。

给一个单调队列优化的模板，理解上采用了经典的选手退役模型：

h=1,t=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
    while(h<=t&&i-q[h]>k) ++h; //老年选手退役
    if(h<=t) dp[i]=...; //最强选手进省队
    while(h<=t&&dp[q[t]]....) --t; //被新生单调队列的学长退役
    q[++t]=i; //新选手加入OI队列
}

P3572 [POI2014] PTA-Little Bird

这个题比较毒，只能单调队列优化dp不能线段树维护。朴素转移很简单：\(dp[i]=\max\limits_{j=i-k}^{i-1}dp[j]+[a_i\ge a_j]\)。复杂度要求 \(O(qn)\)，考虑单调队列优化。板子题不过多赘述。

P2569 [SCOI2010] 股票交易

不难的题，还是先写出朴素转移，状态是好设的：令 \(dp[i][j]\) 表示第 \(i\) 天有 \(j\) 支股票的最大收益，刷表法考虑第 \(i\) 天有四种转移的情况：

\(1.\) 啥都不干，直接从前一天转移来 \(dp[i][j]=dp[i-1][j]\)

\(2.\) 第一次买股票，收益为 \(dp[i][j]=-j\times AP_i,j\in[0,AS_i]\)

\(3.\) 枚举在第 \(i-w-1\) 天有 \(k\) 支股票，今天买到 \(j\) 支，\(dp[i][j]=\max\limits_{k=j-AS_i}^{j-1}(dp[i-w-1][k]-(j-k)\times AP_i)\)

\(4.\) 枚举在第 \(i-w-1\) 天有 \(k\) 支股票，今天卖到 \(j\) 支，\(dp[i][j]=\max\limits_{k=j+1}^{j+BS_i}(dp[i-w-1][k]+(k-j)\times BP_i)\)

复杂度瓶颈在于枚举 \(k\) 的朴素转移，总复杂度 \(O(nP^2)\)。容易发现，在固定了 \(i,j\) 之后，第三种和第四种转移就是在长度固定的连续单调区间中找最值，显然能单调队列优化，能优化到 \(O(nP)\)。注意单调队列初始的指针赋为 \(h=1,t=0\)，这样才能让第一个元素正确。

P2034 选择数字

发现以前用优先队列过了一道单调队列优化dp的题，看来是自己做的了。

朴素转移很简单，令 \(dp[i]\) 表示前 \(i\) 个数不选 \(i\) 时的答案：\(dp[i]=\max\limits_{j=i-k}^i(sum[i-1]-sum[j-1]+dp[j-1])\)，答案便是 \(dp[n+1]\)。

单调队列是显然的，但我用的优先队列。考虑到转移过来的 \(j\) 的范围只和 \(i\) 有关且是单调的，于是考虑在优先队列里塞 pair(-sum[j-1]+dp[j-1],1)，前者是只和 \(j\) 相关的贡献，后者是编号。当枚举到 \(i\) 时取堆顶元素就行了，如果无法从其转移就不断弹出。

P2254 [NOI2005] 瑰丽华尔兹

朴素dp：令 \(dp[i][x][y]\) 表示 \(i\) 时刻在 \((x,y)\) 的答案，初始是 \(0\) 时刻，转移很容易。

这个状态是很难优化的，\(i\) 和 \((x,y)\) 都不好拆开维护。考虑重设状态 \(dp[i][x][y]\) 表示第 \(i\) 个时间段在 \((x,y)\) 时的答案。转移是 \(dp[i][x][y]=\max(dp[i-1][x'][y']+dis)\)，这个 \(dis\) 对不同的方向需要分讨。以当前时间段的方向向南为例，设这段时间长 \(len\)，那么具体的转移就是 \(dp[i][x][y]=\max\limits_{p=x-len}^x(dp[i-1][p][y]+x-p)\)，可以考虑将定值搬到 \(\max\) 外，写成： \(dp[i][x][y]=\max\limits_{p=x-len}^x(dp[i-1][p][y]-p)+x\)。这个时候已经可以发现，转移的范围就是一段长为 \(len\) 的连续的区间，可以用单调队列优化掉枚举 \(p\) 的过程。空间的话直接开是开得下的，也可以滚动数组优化掉 \(i\) 这一维。注意四个方向的转移顺序和转移式都不一样。

P3800 Power收集

我傻。直接就是滑动窗口，但是 \(j\) 在窗口的正中间。试过不能正反两次单调队列，于是考虑在开始对每一行开始dp前就把 \(1\sim T\) 的元素入队，然后不断加入 \(j+T\) 的元素，在加入元素的时候就顺便把该退役的元素给弹出了。