拉格朗日插值

感觉还是有必要学一下的。

插值

简单来讲，插值就是一个根据一些已有的坐标点求出一个近似函数的过程，从而得出其他的未知点。

有两种插值方式：一种是线性插值，用分段线性函数来进行函数拟合；另一种是多项式插值，拉格朗日插值法便是一种多项式插值，在OI中应该也就只用这种就行了。多项式插值的形式一般如下：

对已知的 \(n+1\) 个点 \((x_0,y_0),(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\)，求 \(n\) 阶多项式 \(f(x)\) 满足 \(f(x_i)=y_i,\forall i=0,1,\dots,n\)

学一个拉格朗日插值就行了。

拉格朗日插值

要求构造一个函数 \(f(x)\) 过点 \(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\cdots,P_n(x_n,y_n)\)。首先设第 \(i\) 点在 \(x\) 轴上的投影为 \(P_i^{\prime}(x_i,0)\)。考虑构造 \(n\) 个函数 \(f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)\)，使得对于第 \(i\) 个函数 \(f_i(x)\)，其图像过 \(\begin{cases}P_j^{\prime}(x_j,0),(j\neq i)\\P_i(x_i,y_i)\end{cases}\)，则可知题目所求的函数 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^nf_i(x)\)。

那么可以设 \(f_i(x)=a\cdot\prod_{j\neq i}(x-x_j)\)，将点 \(P_i(x_i,y_i)\) 代入可以知道 \(a=\dfrac{y_i}{\prod_{j\neq i} (x_i-x_j)}\)，所以 $$f_i(x)=y_i\cdot\dfrac{\prod_{j\neq i} (x-x_j)}{\prod_{j\neq i} (x_i-x_j)}=y_i\cdot\prod_{j\neq i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

那么我们就可以得出拉格朗日插值的形式为：\(f(x)=\sum_{i=1}^ny_i\cdot\prod_{j\neq i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}\)

简单来讲就是找到一些多项式满足 \(f_i(x_i)=1,f_i(x_j)=0\:(j\neq i)\)，然后把他们带权加起来。

这样朴素的拉格朗日插值是 \(O(n^2)\) 的，可以优化到 \(O(n\log^2 n)\)，如果已知点的横坐标是连续整数，那么还可以做到 \(O(n)\) 插值。

例题

P4781 【模板】拉格朗日插值

没啥说的，就直接 \(O(n^2)\) 按式子求就行了。

CF622F

首先要知道所求的答案是一个 \(k+1\) 次的多项式，但是 \(k\) 的取值是 \(10^6\)，\(O(n^2)\) 朴素做法无法通过。但这个题中我们已知的点是连续的整数，这样是可以优化的。

考虑原本的式子 \(\sum_{i=0}^n y_i\prod_{j\neq i}\dfrac{k-x_j}{x_i-xj}\) ,因为 \(x_i\)是 \(0\sim n\) 的连续整数，所以式子就是：\(\sum_{i=0}^n y_i\prod_{j\neq i}\dfrac{k-j}{i-j}\)，发现分子为 \(\dfrac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}(x-j)}{i-j}\)，分母的 \(i-j\) 累乘可以拆成两段阶乘来算：\((-1)^{n+1-i}\times(i-1)!\:\times(n+1+i)!\)

于是横坐标为 \(1,\cdots,n+1\) 的插值公式就为：$$f(k)=\sum\limits_{i=1}^{n+1} (-1)^{n+1-i} y_i\cdot\dfrac{\prod_{j=1}^{n+1}(k-j)}{(i-1)!(n+1-i)!(k-i)}$$

然后用前缀后缀积维护就可以优化掉一层循环，时间复杂度 \(O(n)\)。