[BZOJ1044][HAOI2008]木棍分割 二分 + 单调队列优化dp + 滚动数组优化dp
Description
有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连
接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长
度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。
Input
输入文件第一行有2个数n,m.接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.n<=50000,0<=m<=min(n-1,10
00),1<=Li<=1000.
Output
输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.
Sample Input
3 2
1
1
10
1
1
10
Sample Output
10 2
HINT
两种砍的方法: (1)(1)(10)和(1 1)(10)
Solution
做法:二分+单调队列优化+滚动数组优化
第一问直接二分答案然后暴力$check$一下就行了,套路
第二问的话呢,用$dp$来求出答案
可以设$f[i][j]$表示前$i$个木棍切成$j$段时最大长度不大于第一问的$ans$的方案数
那么$$f[i][j]=\sum_{k}^{k<=i}f[k][j-1](sum[i]-sum[k-1]>=ans1)$$
那个$sum$前缀和一下就可以了
然而$dp$空间爆炸,但是可以发现切成$j$个时只会从$j-1$转移过来,所以滚动掉$j$这一维
然后就会发现时间爆炸,不过可以发现对于每个$i$,转移的$k$是固定的,所以拿个单调队列扫一扫就行了
#include <bits/stdc++.h> using namespace std ; #define N 100010 #define inf 0x3f3f3f3f #define mod 10007 int n , m ; int a[ N ] , f[ 2 ][ N ] , q[ N ] , sum[ N ] ; bool check( int x ) { int sum = 0 , cnt = 0 ; for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { if( sum + a[ i ] > x ) sum = 0 , cnt ++ ; sum += a[ i ] ; if( a[ i ] > x ) return 0 ; if( cnt > m ) return 0 ; } return 1 ; } int main() { scanf( "%d%d" , &n , &m ) ; int l = inf , r , ans ; for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { scanf( "%d" , &a[ i ] ) ; l = min( l , a[ i ] ) ; sum[ i ] = sum[ i - 1 ] + a[ i ] ; } r = sum[ n ] ; while( l <= r ) { int mid = ( l + r ) >> 1 ; if( check( mid ) ) ans = mid , r = mid - 1 ; else l = mid + 1 ; } printf( "%d " , ans ) ; f[ 0 ][ 0 ] = 1 ; int ans2 = 0 ; for( int i = 1 ; i <= m ; i ++ ) { int pre = i&1 , cur = pre^1 , tot = f[ cur ][ 0 ] ; l = 1 , r = 1 ; q[ 1 ] = 0 ; for( int j = 1 ; j <= n ; j ++ ) { while( l <= r && sum[ j ] - sum[ q[ l ] ] > ans ) tot = ( tot - f[ cur ][ q[ l ++ ] ] + mod ) % mod ; f[ pre ][ j ] = tot ; q[ ++ r ] = j ; tot = ( tot + f[ cur ][ j ] + mod ) % mod ; } for( int j = n - 1 ; j ; j -- ) { if( sum[ n ] - sum[ j ] > ans ) break ; ans2 = ( ans2 + f[ pre ][ j ] + mod ) % mod ; } memset( f[ cur ] , 0 , sizeof( f[ cur ] ) ) ; } printf( "%d\n" , ans2 ) ; return 0 ; }