对于求解单峰函数最值问题的探讨
现在已知一个单峰函数\(f\)，求它在某个区间内的最值
可以做到\(O(n\log_3 n)\)或者\(O(n \log_2 n)\)（假设求该函数的一个点值是\(O(1)\)的）
三分法
最常规的做法。
每次取区间的三等分点\(lmid\)和\(rmid\)，比较\(f(lmid)\)和\(f(rmid)\)的大小来缩小区间。
- \(f(lmid)>f(rmid)\)，最值一定在\(rmid\)左侧，令\(r=rmid\)
- \(f(lmid)<f(rmid)\)，最值一定在\(lmid\)右侧，令\(l=lmid\)
注意，当函数在某个区间内为常函数时，并不能正确地得到该函数在区间内的最值。
求导+二分
对于单峰函数\(f\)，显然它的一侧的是单调增的，另一侧是单调减的。
对该函数求导，那么单调增一侧的导数\(f'\)大于\(0\)，单调减一侧的导数\(f'\)小于\(0\)，最值处的导数为\(0\)
那么就可以利用二分法来确定导函数的零点。
如果函数\(f\)是个常规的函数，如\(n\)次函数，可以直接利用公式求导。如果是个抽象函数的话，我们不妨利用导数的定义来求出该点的导数。
\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac {f(x+\Delta x)-f(x)} {\Delta x}
\]
选择在精度允许内尽可能小的\(\Delta x\)就可以算出\(f'(x)\)了。
假设求出该函数的导数的复杂度为\(O(1)\)，那么总的复杂度是\(O(n \log_2 n)\)的。
[模板] 三分法
题目链接
三分或者求导均可。
三分代码：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 20;
const double eps = 1e-8;
double a[N], l, r;
int n;
double f(double x) {
double ans = 0;
for(int i = 1; i <= n + 1; ++i) ans = 1.0 * ans * x + a[i];
return ans;
}
bool check(double x, double y) {
return f(x) < f(y);
}
int main() {
scanf("%d%lf%lf", &n, &l, &r);
for(int i = 1; i <= n + 1; ++i) scanf("%lf", &a[i]);
while(l + eps < r) {
double len = (r - l) / 3.0;
double lmid = l + len, rmid = r - len;
if(check(lmid, rmid)) l = lmid;
else r = rmid;
}
printf("%.5lf\n", l);
}
求导代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 20;
const double eps = 1e-8;
double a[N], l, r;
int n;
double f(double x) {
double ans = 0;
for(int i = n + 1; i; --i) ans = 1.0 * ans * x + a[i];
return ans;
}
double check(double x) {
return (f(x + eps) - f(x)) / eps;
}
int main() {
scanf("%d%lf%lf", &n, &l, &r);
for(int i = n + 1; i; --i) scanf("%lf", &a[i]);
while(l + eps < r) {
double mid = (l + r) / 2.0;
if(check(mid) >= 0) l = mid;
else r = mid;
}
printf("%.5lf\n", l);
}
