[NOIP2025] 清仓甩卖 题解

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思路：正难则反

直接统计最优购买方案的定价方案数不好做，考虑用总方案数减去不合法方案数。

总定价方案数为 \(2^n\)（每颗糖定价 \(1\) 或 \(2\) 元）。

什么是不合法方案？

先看题目样例：\(m=2\)，\(a=(1,3,5)\)，定价 \(w=(1,1,2)\)。

\(a_i\)	1	3	5
\(w_i\)	1	1	2
性价比	1	3	2.5

按性价比排序后购买顺序为：第 \(2\) 颗（\(w=1\)，剩 \(1\) 元）、第 \(3\) 颗（\(w=2\)，钱不够，跳过）、第 \(1\) 颗（\(w=1\)，剩 \(0\) 元）。总原价 \(=3+1=4\)。

但实际上直接买第 \(3\) 颗，花 \(2\) 元得原价 \(5\)，更优。所以该定价方案不合法。

关键观察：之前选了一个 \(w=1\) 的糖果，导致后面某个 \(w=2\) 的糖果买不到，且两颗 \(w=1\) 糖果的 \(a_i\) 总和小于那个 \(w=2\) 糖果的 \(a_i\) 时，就产生了不合法方案。

设第一个 \(w=1\) 的糖果为 \(i\)，第二个为 \(k\)，\(w=2\) 的糖果为 \(j\)。枚举 \(i\) 和 \(j\)，此时 \(k\) 的方案数即为当前 \((i,j)\) 产生的贡献。

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三元组 \((i,j,k)\) 需满足的条件

自然地，\(w_i=w_k=1,\ w_j=2\)。

• \(a_k<a_i<a_j\)

因为方案不合法当且仅当 \(a_i+a_k<a_j\)，而 \(a_i,a_k\) 都为正数，显然 \(a_i<a_j\)。

\(k\) 是在 \(j\) 之后买的，\(k\) 的性价比小于 \(i\)，且 \(w_i=w_k=1\)，所以 \(a_k<a_i\)。

自然想到把 \(\{1,2,\dots,n\}\) 按 \(a_i\) 排序。

• \(a_i>\dfrac{a_j}{2}\)

因为 \(i\) 必须在 \(j\) 前买，所以 \(i\) 的性价比要大于 \(j\) 的性价比。

分段计数

固定 \(i<j\)，把排序后的序列分为四段讨论：

• \((j,n]\)：无论 \(w=1\) 或 \(2\)，每个性价比都大于 \(j\)，所以一定会被选。
• \((i,j)\)：
  • 当 \(w=1\) 时，性价比 \(>j\)（因为 \(i\) 的性价比 \(>j\)），一定选；
  • 当 \(w=2\) 时，性价比 \(<j\)（因为都排在 \(j\) 前面），一定不选。
• \([1,i)\)：我们要贪心地找一个最大的 \(k\)，使得 \(a_k+a_i<a_j\)，表示 \([1,k]\) 这个区间内的每个数都可以当作 \(k\) 来使得方案不合法。
  • 对于 \((k,i)\)，\(w\) 必须为 \(2\)，否则就选不到 \(k\)，此时性价比都 \(<j\)；
  • 对于 \([1,k]\)，每个数的 \(w\) 随便定。
• \([1,i)\) 中 \((k,i)\) 之外：\(w\) 必须为 \(2\)。

附一张图便于理解QvQ：

方案数计算

现在有 \(m\) 块钱，要把它们分给选择的所有糖果。

• 对于 \((j,n]\)，每个 \(w=1\) 或 \(2\)，我们可以先强制都给它们分 \(1\) 个，最后再选出几个再加上 \(1\) 个。
• 对于 \((i,j)\)，选的都是 \(w=1\)，可以等最后和 \((j,n]\) 一起分配。
• 剩下的，除了 \(i,j,k\)，都不会选，也就不会花钱，就不用管。

一共有 \((n-i-1)\) 个人（\((i,n]\) 减去 \(j\)），

需要分 \(m-2-(n-j)\) 块钱（一共 \(m\)，减去 \(i\) 和 \(k\) 的 \(2\) 块，减去先给 \((j,n]\) 的 \((n-j)\) 元）。

\((n-i-1)\) 个人分 \(m-2-(n-j)\) 块钱，每人 \(1\) 块，共

\[\binom{n-i-1}{\,m-2-(n-j)\,} \]

种方案。

然后，对于 \([1,k]\)，每个数的 \(w\) 为 \(1\) 或 \(2\)，共 \(2^k\) 种方案。

再加上枚举 \(i\) 和 \(j\)。

所以，一共不合法的方案数就是：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}\binom{n-i-1}{m-2-(n-j)}\,2^k \]

最终答案也就是：

\[2^n-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}\binom{n-i-1}{m-2-(n-j)}\,2^k \]

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最后附上代码 \(QvQ\)：

// Problem: P14636 [NOIP2025] 清仓甩卖
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P14636
// Author: hemingxi_2030
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 1500 ms
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// 
// 与其痴心妄想，不如脚踏实地；与其埋怨他人，不如提升自己。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define qy(FILE) freopen(FILE".in","r",stdin);freopen(FILE".out","w",stdout);
using namespace std;
const int N=10010,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;
int op,T,n,m,a[N],C[N][N];
ll ans,pw2[N];
void init()
{
	pw2[0]=1;
	for(int i=1;i<=N-10;i++)
		pw2[i]=(pw2[i-1]*2)%mod;
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=N-10;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
	}
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>op>>T;
	init();
	while(T--)
	{
		cin>>n>>m;
		//记得清空
		ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cin>>a[i];
		}
		sort(a+1,a+1+n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int k=0;
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
			{
				if(a[i]*2<=a[j]) break;
				if(m-2<n-j||a[i]==a[j]) continue;
				while(k<n&&a[i]+a[k+1]<a[j]) k++;
				ans=(ans+1ll*C[n-i-1][m-2-n+j]*pw2[k]%mod)%mod;
			}
		}
		ans=(pw2[n]-ans+mod)%mod;
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}

写题解不易（2.5h完成），留个赞再走吧😭😭😭。

（AI使用说明：本文在写作完成后使用 DeepSeek 进行了润色，并保证作者贡献大于 AI 贡献。）