题解： [NOIP2025] 清仓甩卖

洛谷题目传送门 (紫)

足以想象 2025NOIP 有多难

看到正着推不好做，那就正难则反，用总方案数 \(-\) 不合法方案数。

那什么时候才能产生不合法方案呢？

举个栗子吧：

\(m = 2:\)

\(a_i\)	1	3	5
\(w_i\)	1$\ $	1	2
性价比：	1	3	2.5

购买方案：

• 买第二个糖果，钱够，剩余钱数 = 1，当前总价：3
• 买第三个糖果，钱不够。
• 买第一个糖果，钱够，剩余钱数 = 0，当前总价：4

但实际上：

• 买第三个糖果，钱够，剩余钱数 = 0，当前总价：5

5 > 4 , 所以这是一个不合法方案。

那么我们可以看出：之前选一个 \(w=1\) 的糖果，导致后面的 \(w=2\) 的糖果买不到，且两个 \(w=1\) 的糖果的 \(a_i\) 总和小于那个 \(w=2\) 的 \(a_i\) 时，这就是一种不合法方案。

我们设第一个 \(w=1\) 的糖果为 \(i\)，第二个为 \(k\)，\(w=2\) 的糖果为 \(j\)，枚举 i 和 j ,此时 k 的方案数即为当前(i,j)产生的贡献。

想想 \(i,j,k\) 必须满足什么条件。

（自然地，\(w_i=w_k=1,w_j=2\))

• $a_k < a_i < a_j $

因为方案不合法当且仅当 \(a_i + a_k < a_j\)，\(a_i,a_k\) 都为正数，显然 \(a_i< a_j\)。

k 是在 j 之后买的，k 的性价比小于 i，且 w_i=w_k=1，a_k < a_i。

自然想到把 \(\{1,2,\dots,n\}\) 按 \(a_i\) 排序。

• \(a_i > {a_j\over2}\)

因为 i 必须在 j 前买，所以 i 的性价比要 > j。

然后就能计算不合法的方案数了。

如下图，分为 4 段开始讨论：

• 对于 \((j,n]\) , 无论 w=1 或 2,每个性价比都大于 j,所以一定会被选。
• 对于 \((i,j)\)
  • 当 w=1 时，性价比 > j(因为 i 的性价比> j),一定选
  • 当 w=2 时，性价比 < j(因为都排在 j 前面),一定不选
• 对于[1,i)这部分，我们要贪心地找一个最大的 k，使得 a_k+a_i<a_j，表示[1,k]这个区间内的每个数都可以当作 k 来使得方案不合法。
  • 对于 \((k,i)\),w 必须为 2，否则就选不到 k，此时性价比都<j
  • 对于 \([1,k]\),每个数的 w 随便定.

怎么计算方案数呢？

现在有 m 块钱，要把他们分给选择的所有糖果。

• 对于 \((j,n]\)，每个 w=1 或 2，我们可以先强制都给它们分 1 个，最后再选出几个再加上 1 个。
• 对于 \((i,j)\)，选的都是 w=1，可以等最后和 \((j,n]\) 一起分配。
• 剩下的，除了 i,j,k，都不会选，也就不会花钱，就不用管。

一共有(n-i-1)个人(\((i,n]\) 减去 j），

需要分(m-2-(n-j))块钱（一共 m，减去 i 和 k 的 2 块，减去先给的 \((j,n]\)(n-j)元。

(n-i-1)个人分(m-2-(n-j))块钱，每人 1 块，共 \(C_{n-i-1}^{m-2-(n-j)}\) 种方案。

然后，对于 \([1,k]\),每个数的 w 为 0 或 1，共 \(2^k\) 种方案。

再加上枚举 i 和 j。

所以，一共不合法的方案数就是：

\[\sum\limits_i^n\sum\limits_{j=i+1}^nC_{n-i-1}^{m-2-(n-j)} 2^k \]

最终答案也就是：

\[2^n-\sum\limits_i^n\sum\limits_{j=i+1}^nC_{n-i-1}^{m-2-(n-j)} 2^k \]

最后附上代码 QvQ：

// Problem: P14636 [NOIP2025] 清仓甩卖
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P14636
// Author: hemingxi_2030
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 1500 ms
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// 
// 与其痴心妄想，不如脚踏实地；与其埋怨他人，不如提升自己。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define qy(FILE) freopen(FILE".in","r",stdin);freopen(FILE".out","w",stdout);
using namespace std;
const int N=10010,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;
int op,T,n,m,a[N],C[N][N];
ll ans,pw2[N];
void init()
{
	pw2[0]=1;
	for(int i=1;i<=N-10;i++)
		pw2[i]=(pw2[i-1]*2)%mod;
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=N-10;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
	}
}
signed main()
{
	qy("sale");
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>op>>T;
	init();
	while(T--)
	{
		cin>>n>>m;
		//记得清空
		ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cin>>a[i];
		}
		sort(a+1,a+1+n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int k=0;
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
			{
				if(a[i]*2<=a[j]) break;
				if(m-2<n-j||a[i]==a[j]) continue;
				while(k<n&&a[i]+a[k+1]<a[j]) k++;
				ans=(ans+1ll*C[n-i-1][m-2-n+j]*pw2[k]%mod)%mod;
			}
		}
		ans=(pw2[n]-ans+mod)%mod;
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}