SparseTable ST表

Sparse Table

ST表是一个静态二维数组st[i][j]，作用是快速查询（O(1)）区间最值（不只是最值，可重复贡献问题都可以用）,st[i][j]代表的是在以引索i为起点,长度为\(2^j\)的区间内最值，缺点是只能静态查询，不支持修改。

实现

建表

对于要查询的数组a[n]，首先创建一个二维数组st[i][j],\(0\le i<n, \; 0\le j\le log_{(n)}\). 解释一下j的值域，j代表查询区间的大小（\(2^j\)），所以，如果我们要查询区间a[0,n)的最值，那么就是st[0][j]，其中\(j=\lfloor log_2n\rfloor\).

填表

这里用的是动态规划的方法，复杂度为\(nlog n\)。一个长度为\(2^j\)区间的最值就等于这个区间前\(2^{j-1}\)个元素的最值和后\(2^{j-1}\)个元素的最值中的最值。所以状态转移方程为\(st[i][j] = max(st[i][j-1], st[i+2^{j-1}, j-1])\).

for(int i=0; i<n; ++i) 
    st[i][0] = a[i]; //长度为2^0=1的区间就是a[i]本身

for(int j=1; j<=floor(log(n)/log(2)); ++j)
    for(int i=0; i<n; ++i) {
        if(i+(1<<j) > n+1) break;  //区间越界
        st[i][j] = max(st[i][j-1], st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
    }

查询

因为ST表只能的查询区间长度都为2的幂次(\(2^j\)),那么我们要查询的区间长度不是2的幂次怎么办.

任意一个正整数都可以拆分成若干个2的幂次的和。例如我们查询区间[3,10)区间长度为7，7可以拆分为1+2+4,那么我们要查询的最值就是max(st[3][0], st[4][1], st[6][2]).

模板类,通过：https://www.luogu.com.cn/problem/P3865：

#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

/*
    ST表做静态区间查询，op满足
        x op x = x
        (x op y) op z = x op (y op z)
    query[l,r]从0开始
*/
template <typename T>
class SparseTable {
    using VT = vector<T>;
    using VVT = vector<VT>;
    using func_type = function<T(const T &, const T &)>;

    VVT ST;

    static T default_func(const T &t1, const T &t2) { return max(t1, t2); }

    func_type op;

public:
SparseTable(const vector<T> &v, func_type _func = default_func) {
    op = _func;
    int len = v.size(), l1 = ceil(log2(len)) + 1;

    ST.assign(len, VT(l1, 0));
    for (int i = 0; i < len; ++i) {
        ST[i][0] = v[i];
    }

    for (int j = 1; j < l1; ++j) {
        int pj = (1 << (j - 1));
        for (int i = 0; i + pj < len; ++i) {
            ST[i][j] = op(ST[i][j - 1], ST[i + pj][j - 1]);
        }
    }
}

T query(int l, int r) {
    int lt = r - l + 1;
    int q = max(0, (int)ceil(log2(lt)) - 1);
    return op(ST[l][q], ST[r - (1 << q) + 1][q]);
}
};