混沌理论和相空间理论

1.混沌理论

首先，量子力学中的不确定性原理告诉我们，如果想同时知道一个微观粒子的动量和位置，是永远不可能做到的，并且波函数告诉我们在没有进行测量的时候，微观粒子在空间当中的位置时服从概率分布的。

在自然界中，大部分的系统都属于非线性系统，也就是不能用一个线性方程来描述它。有时候它是有规律，有周期性的，有时候它不是周期运动。所以研究者们一般都用好几个非线性方程联立来描述，而为了解析这些系统就要求解这些非线性方程，但是这些方程求解困难。像广义相对论的场方程就是二阶非线性偏微分方程，求解方法一般就是找一个近似的线性方程，求近似的解。这里的非线性系统可以理解为天气预报系统，因为天气状况也是处于混沌状态。举个例子，就目前来看人们还不能精准的去预测地震和天气预报，因为天气预报只能大范围的，短期的预测不是每次都很准。如果想要精准的预测，比如这片云要下雨，能落到哪一条街，哪个人身上，这肯定是做不到的。这一切的背后有一套理论在做支撑，叫做混沌理论。

混沌状态区别于随机状态，这两种状态差异化很大。随机状态就是纯概率的事件，如掷骰子一般。而混沌系统，它虽然有解，但要解开难度极大，并且混沌系统是总是在变化之中，它的状态稍微有一丁点系统内的变化到最后都有可能引起巨大的改变。

总而言之，混沌理论表明一切看似没有关系离散的事件，在其内部都有一定的联系。人们肉眼能观察到的，可能都是一个混沌系统的局部，所以看不到其联系，可见混沌系统暗含了混沌系统是具有局部随机整体有序的特点。随着混沌理论的深入研究，人们可能会解释或预测出某些事件现象的发展趋势。

2.相空间理论

在数学和物理领域，定义一个动力系统所有可能状态的空间，并且系统中每一个可能的状态都与唯一一点相对应。这些点的组合空间称作相空间。 系统的每个变量可以用相空间中的一个维度来表示。特殊地，一维系统的相空间称为相线（Phase Line），二维系统的相空间称为相平面（Phase Plane）。相空间的每一个点都唯一对应了动力系统中一个可能的状态，或者说系统各变量的一个取值组合，对应于相空间中一个点的坐标。将相空间中的点连接起来，就得到了系统的相空间轨迹（Phase Space Trajectory），该轨迹反映了动力系统的状态随时间演化的过程。在相空间中绘出系统相空间轨迹，也就得到了相图。因此动力系统的单个状态被称作相空间点的状态向量。

一般来说，相空间是高维的。肉眼可见的时间序列往往都是整个动力系统的一维时间序列，也就是单变量混沌时间序列。研究者们往往通过一系列计算方法可以将整个混沌系统的相空间进行降维，使得降维后的相空间依然可以近似表征出整个混沌系统的因果关系，大大减少了解析混沌系统的计算资源。这也就是相空间理论的重要应用意义之一。

参考资料

[1] 蒋振豪等.基于机器学习的混沌时间序列预测研究及应用[D].南京:东南大学,2018:1-20.