数据结构学习笔记-第一章

第一章

1.1 数据结构的基本概念

1.1.1 基本概念和术语

1. 数据：是信息的载体。

2. 数据元素：是数据的基本单位。

   • 数据项：是构成数据元素的不可分割的最小单位。

3. 数据对象：是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。

4. 数据类型：是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称。

   • 原子类型：其值不可再分的数据类型。
   • 结构类型：其值可以再分解为若干成分（分量）的数据类型。
   • 抽象数据类型：抽象数据组织及与之相关的操作。

5. 数据结构：是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

1.1.2 数据结构的三要素

1. 逻辑结构：是指数据元素之间的逻辑关系，即从逻辑关系上描述数据。

   • 线性结构：结构中的数据元素之间只存在一对一的关系，线性表是典型的线性结构。
   • 非线性结构：结构中的数据元素之间存在一对多或多对多的关系，集合、树和图是典型的线性结构。

2. 存储结构：是指数据结构在计算机中的表示（又称映像），也称物理结构，它包括数据元素的表示和关系的表示。

   • 顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。
     • 优点：可以实现随机存取。
     • 缺点：只能使用相邻的一整块存储单元。
   • 链式存储：不要求逻辑上相邻的元素在物理位置上也相邻，借助指示元素存储的指针来表示元素之间的逻辑关系。
     • 优点：不会出现碎片现象，可以充分利用所有存储单元。
     • 缺点：每个元素因为存储指针而占用额外的空间，且只能实现顺序存取。

• 索引存储：在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表。
  • 优点：检索速度快。
  • 缺点：附加索引表额外占用存储空间，且增删数据都要修改索引表，因而花费较多时间。
  • 散列存储：根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称哈希（Hash）存储。
    • 优点：检索、增加和删除节点的操作都很快。
    • 缺点：如果散列函数不好，很可能出现元素存储单元的冲突，而解决冲突会增加时间和空间开销。

3. 数据的运算
   • 运算的定义：针对逻辑结构，指出运算的功能。
   • 运算的实现：针对存储结构，指出运算的具体操作步骤。

1.2 算法和算法评价

1.2.1 算法的基本概念

算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令表示一个或多个操作。

算法的五个重要特性

• 有穷性
• 确定性
• 可行性
• 输入
• 输出

“好”算法应达到的目标：

• 正确性
• 可读性
• 健壮性
• 效率与低存储量需求

1.2.2 算法效率的度量

时间复杂度

一个语句的频度是指该语句在算法中被重复执行的次数，而算法中所有语句的频度之和记为T(n)。

时间复杂度主要分析T(n)的数量级。

算法的时间复杂度记为：T(n) = O(f(n))

• 最坏时间复杂度：是指在最坏情况下算法的时间复杂度。
• 平均时间复杂度：是指所有可能输入实例在等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。
• 最好时间复杂度：是指在最好情况下算法的时间复杂度。

一般总是考虑最坏时间复杂度，以保证算法的运行时间不会比它更长。

分析一个程序的时间复杂性的时候，有以下两条规则

• 加法规则：T(n) = T₁(n) + T₂(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n),g(n)))
• 乘法规则：T(n) = T₁(n) × T₂(n) = O(f(n)) × O(g(n)) = O(f(n)×O(g(n)))

常见的渐进时间复杂度为：

O(1) < O(㏒₂n) < O(n) < O(n㏒₂n) < O(n²) < O(n³) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

空间复杂度

空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它是问题规模n的函数。记为：

S(n) = O(g(n))