算法

算法

关键对比表

算法	子问题性质	存储中间结果	适用问题类型	时间复杂度	常见例子
分治	独立、不重叠	通常不需要	可分解为独立子问题的问题	通常 O(nlog⁡n)	二分查找【通常 O(nlog⁡n)或O(log⁡n)】 、归并排序 【通常 O(nlog⁡n)】
回溯	尝试所有可能解	不需要	决策问题（排列、组合）	指数级（如 O(2n) 或 O(n!)）	n 皇后问题【通常 O(n!)】 、 深度优先
贪心	无子问题依赖	不需要	具有贪心选择性质的问题	通常 O(n) 或 O(nlog⁡n)
动态规划	重叠、有依赖	需要（表格）	最优子结构+重叠子问题	多项式级（如 O(n2)）	两个字符串x(长度m)和y(长度n)的最长公共子串：动态规划【通常 O(mn)】 、 KMP算法【通常 O(m+n)】（KMP算法与动态规划在预处理阶段的思想有部分相似性）

动态规划：解决具有最优子结构和重叠子问题的问题。

分支限界 ：以广度优先方式搜索解空间，适合组合优化问题。

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如何选择？

1. 分治：子问题独立且合并简单（如排序）。
2. 回溯：需要穷举所有可能解（如路径搜索）。
3. 贪心：问题具有贪心性质且无需回溯（如最小生成树）。
4. 动态规划：子问题重叠且需最优解（如最值问题）。

动态规划 vs 贪心：

• 动态规划会考虑所有可能的选择（保留中间状态），贪心只选当前最优。
• 例如，背包问题中，0-1背包用DP，分数背包用贪心。

动态规划 vs 分治：

• 分治的子问题不重叠（如归并排序），DP的子问题重叠（如斐波那契数列）。