GCD与LCM【数论】

题目大意：
给出两个数的GCD$GCD$和LCM$LCM$，求这两个数的最小差值。
Iuput$Iuput$

6 36

Output$Output$

6

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思路：
一道数论题。
我们设这两个数分别为x$x$和y$y$且x≤y$x\le y$，g=gcd(x,y)$g=gcd(x,y)$，l=lcm(x,y)$l=lcm(x,y)$，那么必然有

l=xg×yg×g$$l=\frac{x}{g}\times \frac{y}{g}\times g$$

即

l=xygg2$$l=\frac{xyg}{g^2}$$

约分得

l=xyg$$l=\frac{xy}{g}$$

移项得

lg=xy$$lg=xy$$

由于g$g$必然是x$x$的因数，所以可以设k=gx$k=\frac{g}{x}$,则

x=kg$$x=kg$$

带入上式，得

lg=kgy$$lg=kgy$$

,
根据等式的性质，得

lg=kglk$$lg=kg\frac{l}{k}$$

那么只要枚举k$k$,我们就可以求出正确答案了。

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代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

long long g,l,x,y,z,ans;

int main()
{
    scanf("%d%d",&g,&l);
    for (long long i=1;1;i++)
    {
        if (g*i>l/i) return printf("%d\n",ans)&0;  //当a>b时，程序结束
        if (l%i) continue;  //l不能整除i（即上文所述k）
        x=g*i;
        y=l/i;  //求出两数的值
        z=__gcd(x,y);  
        if (z==g&&x*y==g*l) ans=l/i-i*g;  //判断是否成立
    }
}