【洛谷P5091】【模板】欧拉定理【扩展欧拉定理】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P5091
求$a^b\mod m$。

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思路：

扩展欧拉定理的模板题。
具体还不会证明。证明就出门右转题解区吧。
欧拉定理：对于任意的$a,p\in \Z^*$，若满足$(a,b)=1$，那么必然就有$a^{\varphi(m)} \equiv 1(mod\ p)$
扩展欧拉定理：当$p\geq \varphi(m)$时，必有
$a^p\equiv a^{p\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ p)$
所以就算出$\varphi(p)$，然后从高位到低位依次读入$b$的每一位，同时取模$\varphi(m)$。然后由于最终的指数不会超过$10^6$，所以直接暴力乘上去就可以了。
注意只有在$b>\varphi(m)$时指数才需要在最后加$\varphi(m)$。

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代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll a,b,p,q,phi;
bool flag;

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&a,&p);
	phi=q=p;
	for (ll i=2;i*i<=q;i++)
		if (!(q%i))
		{
			phi=phi/i*(i-1);
			while (!(q%i)) q/=i;
		}
	if (q>1) phi=phi/q*(q-1);
	while (scanf("%1lld",&q)==1)
	{
		b=b*10+q;
		if (b>=phi) flag=1;
		b%=phi;
	}
	if (flag) b+=phi;
	for (ll i=1,x=a;i<b;i++)
		a=a*x%p;
	printf("%lld\n",a);
	return 0;
}