线性代数九：齐次方程组

一、齐次方程组的概念

m：方程个数矩阵的行数

n：未知数个数，矩阵的列数

 

 

 

 二、求齐次方程组的解 

题一：具体数值型的齐次方程组的解

矩阵系统A，经过一系列初等变换，得到以上的行阶梯形式，可以看出A的秩为3。

n为未知数个数，即列数。n - r(A)=5-3=2

 

 自由变量一般怎么取？一般在副元所在列，如果自由变量为2一般取01、10，如果自由变量为3一般取001、010、100........。

每一行左起第1个不为0的元素所在的列，为主元；其余列为副元。

第一行，第一个不为0的元素为1；第二行为-2；第三行为-3。

副元为：x3，x5所在的列。

可得，自由变量为x3,x5。第一个解x3,x5取0, 1；第二个解x3,x5取1，0，如下：

( , , 0, , 1)

( , , 1, , 0)

到此，自由变量取值已确定。

 

其余的未知数x，怎么取？从下往上解方程，全为0的行不取。即：

第一个解：

倒数第二行中：3x4 - x5 = 0，而在第一个解中x5为1，则x4为1/3

倒数第三行中：-2x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 0，而在第一个解中x5为1，x4为1/3，x3为0，代入可得，-2x2 + 0 + 2 * 1/3 + 1 =0，即x2=-5/6

到此，第一个解还剩下x1没有解，继续往上代入方程组：

倒数第四行中：x1 + x2 -3x4 - x5 =0 ，将x2=5/6，x4=1/3，x5=1代入，得到x1=17/6

第一个解变为：

(17/6，-5/6, 0, 1/3, 1)  -->对于齐次方程组的解，加加减减后，它的解不变，这里 * 6 ，可得： (17，-5，0，2， 6)

 

第二个解，也是类似的从下往上解方程。

 

 

对D，使用定义，使用秩，可得行列式B不为0，可知秩为3，则解为3，正确。

 

抽象齐次方程组的解：

由AB=0，可知B的列均为AX=0的解，r(A) + r(B) <= n 

解齐次方程组，最重要的就是要求出方程组的秩r(A)，然后由n-r(A)得到方程组的解有多少个(也包含自由变量有多少)，然后根据副元取自由变量，最后从下往上解方程得到解。如题一的思路。

怎么得到方程组的秩？

方法一：可对系数矩阵 进行初等变换，变换为行阶梯矩阵，可知秩的大小。如题一

方法二：证明秩r(A)大于多少，小于多少，得出秩。