线性代数六：矩阵的进一步运算示例

一、矩阵的基本运算

 题一：

两个矩阵相乘，不能得出如下结论：

两个矩阵相乘等于0，也不能推出任何一个矩阵等于0。但是可以推出两个结论：

方程组AX=0的解，和两个矩阵的秩之和小于n

题二：

 

结论：AB=A-B或AB=A+B，且A，B都是n阶矩阵，可以得出AB互为逆矩阵 。也可称为，A,B可交换。

总结，两个矩阵可交换的四种情况：

二、特殊方阵的幂：

题 一：

 行向量与列向量，相乘的结论：列向量 * 行向量，得到的 n阶方阵；行向量 * 列向量，得到的是一个数。

 

 

题 二：

直接利用以上的结论：任意两行两列均成比例型，即秩为1型，可得

题三：

同样，分析可知，矩阵A任意两行成比例，任意两列成比例，可以直接使用上面的公式

题二和题三的两种形式成比例，可以相互转化：

题三的矩阵A任意两行，任意两列成例，可以转化成A=ab^T形式：

其中，列向量a * 行向量b^T，列向量a为各行的最简比，行向量b^T为各列的最简比。

题四：

 

 题五：

不是任意两行两行成比例的情况，拆分矩阵，然后利用第四题的结论：

相似和归纳法：

 

 三、求伴随矩阵 

题一：

如果已知伴随矩阵，求它的逆矩阵呢？

 

题 二：

题三：

 

 四、可逆矩阵

阶数不高的数值型矩阵，求逆矩阵，一般用矩阵初等行变换，略。

矩阵阶降：使用分块矩阵。

题一:

 

 题二：

 

题三：

题四：

题五、六：

 

 题七：

这个题两个矩阵A,B没有关联，只能使用矩阵的初等变形。