高等数学四：函数的连续

一切初等函数，在其定义区间内必连续，所以讨论函数连续与间断问题，只需讨论两类特殊的点：

• 函数的无定义点（必为间断点）
• 分段函数的分段点（可能间断也可能连续）。其它位置的点一定是连续的。

函数连续的定义：

函数的连续与函数的极限，都要求函数的极限必须存在，函数的连续还多了一个条件:

极限值不仅等于A，还要等于f(x₀)

 

函数连续的定义，还可以表示为：

函数连续定义的ε - δ语言：

函数的极限，要求： 0 < |x - x₀| < δ，不包括中心点

函数的连续，要求：|x - x₀| < δ，包括中心点

 

左连续、右连续：

 

区间的连续：

如果一个函数在一个开区间(a, b)上连续，如何判断它在闭区间[a, b]上连续？

连续函数的四则运算：

 

 连续的充要条件：f(x)在点x₀连续 <=> f(x)在点x₀既左连续又连续。

 

注：该定理建立了，函数左右连续与函数连续之间的关系。

即函数在一点既左连续又右连续，则函数在该点连续。

定理3：连续函数的局部保号性