动态规划 - 打家劫舍(C#和C实现)

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房屋都存放着一定金额的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你不触动警报装置的情况下，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

解题思路

辅助理解：
假设我们要偷一排房屋，每间房屋都有一定的金额。如果我们只能偷一间房屋，那么我们当然要偷金额最高的房屋。如果我们可以偷多间房屋，那么我们可以选择偷金额最高的两间房屋，或者偷金额最高的三间房屋，以此类推。

动态规划

定义状态： 设 dp[i] 表示偷窃到第 i 间房屋时能够获得的最高金额。
状态转移方程： dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])，即偷窃到第 i 间房屋的最高金额等于偷窃到第 i-1 间房屋的最高金额和偷窃到第 i-2 间房屋的最高金额加上当前房屋的金额的最大值。
初始状态： dp[0] = nums[0]，dp[1] = max(nums[0], nums[1])。
遍历顺序： 从小到大遍历，计算每一间房屋的最高金额。

特殊案例
如果数组长度为 0，则返回 0。
如果数组长度为 1，则返回数组第一个元素的值。

public int Rob(int[] nums) {
    int n = nums.Length;

    if (n == 0) {
        return 0;
    }

    if (n == 1) {
        return nums[0];
    }

    int[] dp = new int[n];
    dp[0] = nums[0];
    dp[1] = Math.Max(nums[0], nums[1]);

    for (int i = 2; i < n; i++) {
        dp[i] = Math.Max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
    }

    return dp[n - 1];
}

int rob(int* nums, int numsSize) {
    if (numsSize == 0) {
        return 0;
    }

    if (numsSize == 1) {
        return nums[0];
    }

    int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
    dp[0] = nums[0];
    dp[1] = fmax(nums[0], nums[1]);

    for (int i = 2; i < numsSize; i++) {
        dp[i] = fmax(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
    }

    int result = dp[numsSize - 1];
    free(dp);

    return result;
}

时间复杂度和空间复杂度

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是房屋的数量。需要计算每一间房屋的最高金额。
• 空间复杂度：O(n)。使用了一个大小为 n 的数组来保存中间结果。