洛谷P4891 序列 || 膜法阵,魔法阵

（这题看了题解后做的）题解（这个站看上去有点像那种爬虫站，并没有在原博客上找到，可能原博客被删掉了?）

整个C序列被这些关键点划分成了一些段，段内部C值都是相等的

每一次修改A都越改越大，因此会删掉一些关键点，然后加入O(1)个关键点（大概理解一下。。）；那么，总共加入关键点的数量是O(n+q)级别的，总共删除关键点的数量也是O(n+q)级别的

修改A的时候，由于任何位置的C都不会越改越小，势能函数会减少这样一个值：这一次修改过程中有多少个位置由C<B变为C>=B

因此，可以设计一个算法，使得修改A的时候，复杂度与“这一次修改过程中有多少个位置由C<B变为C>=B”有关，这样复杂度就是对的

每一次修改A的时候，相当于对于C做一些区间修改（根据上面的结论，所有操作的区间修改总次数是O(n+q)的；要找到这个修改的区间的话，可以用另外一个数据结构维护；貌似为了减小代码复杂度，这个也可以直接在下面线段树的基础上实现，就每个节点多记一个区间内A的最大值ma）

这样的话，区间修改C的时候，dfs线段树（设要将区间[l,r]内的C都改为y）；首先，只走与[l,r]交集不为空的区间；走到不被[l,r]包含的区间的时候直接递归下去，回溯的时候更新节点信息；走到被[l,r]包含的区间的时候，当且仅当它的mi<=y时，说明区间内存在点由C<B变为C>=B，继续递归下去，回溯的时候更新节点信息；否则打个懒标记就走，不要递归下去

这样的复杂度就是$O((n+q)log^2n)$（第二个log是由于区间修改打懒标记以及pushdown的时候更新a1需要快速幂）

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闲话

考场上一眼看出这是个毒瘤线段树准备杠题，发现实在太难调了，被各路神犇虐哭qwq

考后看到各种优雅的暴力AC。。。。。。宝宝心里苦qwq

思路分析

题面里面是一堆乱七八糟的限制和性质，这时候需要冷静想想有没有可利用的地方。蒟蒻一开始往势能线段树上面想了想。

定义一个全局势能函数，为所有$C_i<B_i$的位置个数。注意两个操作的修改都不会小于原来的数。

一个是改$A$，相当于对$C$进行区间设置，此时我们每暴力找到一个原来$C_i<B_i$但是现在$C_i\ge y$的位置，就需要在线段树内跳$\log$层，再修改，势能函数就会下降。如果碰到那些修改以后对势能没有影响的子区间，就跳过而不继续暴力递归下去。

一个是改$B$，是单点修改，线段树内跳$\log$层，势能函数至多加$1$。

于是，如果我们能够维护信息，从而判断和控制哪里该暴力递归、哪里该跳过的话，我们总的在线段树内跳的次数不会超过$(n+q)\log n$。

下面用a代替了$C$，b代替了$B$。蒟蒻在线段树里维护了：

pa：区间所有a<b的位置的a的积
pb：区间所有a>=b的位置的b的积
ma：区间a的最大值
mb：区间所有a<b的位置的b的最小值，没有则设成INF
cnt：区间所有a<b的位置的总数
la：bool型变量，区间设置懒标记

修改a的时候，利用单调不降的性质，我们在线段树上先通过二分来对需要修改的若干个子树进行定位。对于当前子区间，如果当前设置值$y$比mb要小，那么设置对答案没有影响，直接打上区间设置标记后退出；否则继续递归直到找到叶子节点，进行修改后退出。

修改b就比较轻松，只要找到对应的叶子节点改完后一路回溯即可。

很多事都是说起来容易做起来难，这题也不例外。调试几乎花了整个晚上。要注意的细节很多，也只好自己仔细思考了。

时间复杂度$O(n\log n+q\log^2n)$，上界很松。多出来的$\log$是区间改a时需要快速幂更新pa造成的。

跑了不到200ms，比什么树套树、分块还是要好看一点，但是被暴力碾压也是有点无奈啊～

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define RG register
 3 #define R RG int
 4 #define I inline
 5 #define G if(++ip==ie)fread(ip=buf,1,N,stdin)
 6 using namespace std;
 7 typedef long long LL;
 8 const LL N=1<<18,YL=1e9+7;
 9 char buf[N],*ie=buf+N,*ip=ie-1;
10 int y,a[N];
11 I int in(){
12     G;while(*ip<'-')G;
13     R x=*ip&15;G;
14     while(*ip>'-'){x*=10;x+=*ip&15;G;}
15     return x;
16 }
17 I LL qpow(RG LL b,R k){//快速幂
18     RG LL a=1;
19     for(;k;k>>=1,(b*=b)%=YL)
20         if(k&1)(a*=b)%=YL;
21     return a;
22 }
23 struct Node{//个人认为写指针比较直观（貌似immortalCO也有这样的看法）
24     Node*lc,*rc;bool la;
25     LL pa,pb;int l,r,m,ma,mb,cnt;
26     I void up(){//上传
27         pa=lc->pa*rc->pa%YL;
28         pb=lc->pb*rc->pb%YL;
29         ma=max(lc->ma,rc->ma);
30         mb=min(lc->mb,rc->mb);
31         cnt=lc->cnt+rc->cnt;
32     }
33     I void dn(){//下传区间设置标记
34         if(la){
35             lc->ma=rc->ma=ma;
36             lc->la=rc->la=1;la=0;
37             lc->pa=qpow(ma,lc->cnt);
38             rc->pa=qpow(ma,rc->cnt);
39         }
40     }
41     I void build(R s,R e){//建树
42         l=s;r=e;m=(s+e)>>1;la=0;
43         if(s==e){
44             ma=a[l];mb=in();
45             (cnt=ma<mb)?(pa=ma,pb=1):(pa=1,pb=mb,mb=YL);
46             return;
47         }
48         (lc=new Node)->build(l,m);
49         (rc=new Node)->build(m+1,r);
50         this->up();
51     }
52     I void upda(){//区间修改a
53         if(y<mb){//对区间势能没有影响
54             pa=qpow(ma=y,cnt);la=1;
55             return;
56         }
57         if(l==r){//到了叶子节点
58             ma=y;pa=1;pb=mb;mb=YL;cnt=0;
59             return;
60         }
61         this->dn();
62         lc->upda();rc->upda();
63         this->up();
64     }
65     I void updb(R s){//单点更新b
66         if(l==r){//仔细判断三种情况再修改
67             if(ma<pb)mb=y;
68             else if(ma<y)pa=ma,pb=cnt=1,mb=y;
69             else pb=y;
70             return;
71         }
72         this->dn();
73         (s<=m?lc:rc)->updb(s);
74         this->up();
75     }
76     I void bound(R s){//线段树二分定位，注意细节
77         if(s==l&&ma<y)return this->upda();
78         if(l==r)return;
79         this->dn();
80         if(s>m)return rc->bound(s),this->up();
81         if(lc->ma<y)rc->bound(m+1);
82         lc->bound(s);
83         this->up();
84     }
85 };
86 int main(){
87     R n=in(),q=in(),op,x;
88     for(R i=1;i<=n;++i)a[i]=max(a[i-1],in());
89     RG Node rt;rt.build(1,n);
90     while(q--){
91         op=in();x=in();y=in();
92         op?rt.updb(x):rt.bound(x);
93         printf("%lld\n",rt.pa*rt.pb%YL);
94     }
95     return 0;
96 }

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