洛谷P3195||bzoj1010 [HNOI2008]玩具装箱TOY

洛谷P3195

bzoj1010

设s数组为C的前缀和

首先$ans_i=min_{j<i}\{ans_j+(i-j-1+s_i-s_j-L)^2\}$

(斜率优化dp)参考(复读)https://www.cnblogs.com/orzzz/p/7885971.html

设j不比k劣,则$ans_j+(i-j-1+s_i-s_j-L)^2 <= ans_k+(i-k-1+s_i-s_k-L)^2$

化简,与i相关的放到一边,(由于要除法,设$k+s_k-j-s_j>0$)

得$2(i+s_i)<=\frac{x_k-x_j+(k+s_k)^2-(j+s_j)^2+2(k+s_k)(L+1)-2(j+s_j)(L+1)}{k+s_k-j-s_j}$

设$f(k)=x_k+(k+s_k)^2+2(k+s_k)(L+1)$,$g(k)=k+s_k$,则$2(i+s_i)<=\frac{f(k)-f(j)}{g(k)-g(j)}$

也就是说,当$g(k)>g(j)$时,当且仅当满足这个条件时,j不比k劣

对于每个j,都表示为二维平面上一个点$(g(j),f(j))$

如果有这样三个点i,j,k(图中横坐标分别改成g(i),g(j),g(k)),

那么$\frac{f(i)-f(j)}{g(i)-g(j)}<\frac{f(j)-f(k)}{g(j)-g(k)}$

可以发现,不管$2(i+s_i)$会插入到与这两者有关的什么位置(比两者都小,夹在中间,比两者都大),j都不可能是最优解

因此,只有下凸壳上面的点才可能是最优解,可以在算出i的答案并加入i的同时维护一下下凸壳(此处$g(i)=i+s_i$是单调的,直接栈维护即可)

怎么样在下凸壳找到这个最优解呢?

考虑这样三个点i,j,k(图中横坐标分别改成g(i),g(j),g(k)),

那么$\frac{f(i)-f(j)}{g(i)-g(j)}>\frac{f(j)-f(k)}{g(j)-g(k)}$

可以发现,如果$2(i+s_i)$比两者都大,那么i最优;如果夹在中间,则j最优;如果比两者都小,则k最优

把3个点扩展到很多个点,可以发现如果搞出一个线段集合,表示下凸壳相邻两点间连线的集合,在这个集合中取出一条斜率>$2(i+s_i)$并且最小的线段,这条线段靠前(靠左)的那个点就是最优解(意会一下)(下凸壳边界点可能要特判)

由于此处$2(i+s_i)$是单调的,可以用一个指针直接维护这个最优解的位置

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<vector>
 5 using namespace std;
 6 #define fi first
 7 #define se second
 8 #define mp make_pair
 9 #define pb push_back
10 typedef long long ll;
11 typedef unsigned long long ull;
12 struct P
13 {
14     ll x,y,n;
15 };
16 P operator-(const P &a,const P &b)
17 {
18     return (P){a.x-b.x,a.y-b.y,0};
19 }
20 ll cross(const P &a,const P &b)
21 {
22     return a.x*b.y-b.x*a.y;
23 }
24 inline ll sqr(ll x){return x*x;}
25 P tmp[100011];int l,r;
26 int n;ll L;
27 ll s[100011],ans[100011];
28 int main()
29 {
30     int i;ll t1;P tn;
31     scanf("%d%lld",&n,&L);
32     for(i=1;i<=n;++i)
33     {
34         scanf("%lld",s+i);
35         s[i]+=s[i-1];
36     }
37     l=1;r=0;
38     tmp[++r]=(P){0,0,0};
39     for(i=1;i<=n;++i)
40     {
41         t1=2*(i+s[i]);
42         while(l<r && tmp[l+1].y-tmp[l].y <= t1*(tmp[l+1].x-tmp[l].x))    ++l;
43         if(l>r)    l=r;
44         ans[i]=ans[tmp[l].n]+sqr(i-tmp[l].n-1+s[i]-s[tmp[l].n]-L);
45         tn=(P){i+s[i],ans[i]+(i+s[i])*(i+s[i]+2*L+2),i};
46         while(r>=2 && cross(tn-tmp[r-1],tmp[r]-tmp[r-1])>=0)    --r;
47         tmp[++r]=tn;
48     }
49     printf("%lld\n",ans[n]);
50     return 0;
51 }
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为什么是凸包呢?好像还有一种解释方法

化简一下$ans_j+(i-j-1+s_i-s_j-L)^2$=$(i+s_i)^2-2(i+s_i)(j+s_j+L+1)+(j+s_j+L+1)^2+x_j$

其中$(i+s_i)^2$只与i有关,先提出去,

剩下$-2(i+s_i)(j+s_j+L+1)+(j+s_j+L+1)^2+x_j$

设其为z,现在要求z的最小值

发现这个过程类似线性规划,等式为$z=-2(i+s_i)(j+s_j+L+1)+(j+s_j+L+1)^2+x_j$

即$(j+s_j+L+1)^2+x_j=2(i+s_i)(j+s_j+L+1)+z$

设$x=j+s_j+L+1$,$y=(j+s_j+L+1)^2+x_j$,$a=2(i+s_i)$,则$y=ax+z$

对于每个j<i,可以看做平面上一个点(x,y),得到点集S

现在有直线$y=ax+z$,a是定值,z不确定,要使得它经过S中一个点,且截距z最小,就拿这条直线从右往左移,碰到第一个点时停下来

显然,只有点集的下凸壳上的点有可能被靠到(也有可能靠到下凸壳的一条边上,这时边的两个端点都是最优解)

下凸壳的性质是:形成它的各条线段的斜率递增

因此,要找到这条直线会靠到什么地方,维护下凸壳,在上面按斜率二分一下就行(这题有特殊性质,也可以用一个指针维护)

话说推出来的式子跟上面不一样,但是仍然可以A?

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<vector>
 5 using namespace std;
 6 #define fi first
 7 #define se second
 8 #define mp make_pair
 9 #define pb push_back
10 typedef long long ll;
11 typedef unsigned long long ull;
12 struct P
13 {
14     ll x,y,n;
15 };
16 P operator-(const P &a,const P &b)
17 {
18     return (P){a.x-b.x,a.y-b.y,0};
19 }
20 ll cross(const P &a,const P &b)
21 {
22     return a.x*b.y-b.x*a.y;
23 }
24 inline ll sqr(ll x){return x*x;}
25 P tmp[100011];int l,r;
26 int n;ll L;
27 ll s[100011],ans[100011];
28 int main()
29 {
30     int i;ll t1;P tn;
31     scanf("%d%lld",&n,&L);
32     for(i=1;i<=n;++i)
33     {
34         scanf("%lld",s+i);
35         s[i]+=s[i-1];
36     }
37     l=1;r=0;
38     tmp[++r]=(P){L+1,sqr(L+1),0};
39     for(i=1;i<=n;++i)
40     {
41         t1=2*(i+s[i]);
42         while(l<r && tmp[l+1].y-tmp[l].y <= t1*(tmp[l+1].x-tmp[l].x))    ++l;
43         if(l>r)    l=r;
44         ans[i]=ans[tmp[l].n]+sqr(i-tmp[l].n-1+s[i]-s[tmp[l].n]-L);
45         tn=(P){i+s[i]+L+1,ans[i]+sqr(i+s[i]+L+1),i};
46         while(r>=2 && cross(tn-tmp[r-1],tmp[r]-tmp[r-1])>=0)    --r;
47         tmp[++r]=tn;
48     }
49     printf("%lld\n",ans[n]);
50     return 0;
51 }
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其他资料(未看,咕咕咕)

https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/6009685.html

https://blog.csdn.net/lxc779760807/article/details/51366552

https://codeforces.com/blog/entry/63823

https://www.cnblogs.com/flashhu/p/9480669.html

待修正:不妨设...  直线y=ax+z(a>0??)

 

posted @ 2019-03-08 15:06  hehe_54321  阅读(225)  评论(0编辑  收藏  举报
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