题解：P17070 [ICPC 2017 Shenyang R] Heron and His Triangle

前置知识

• 佩尔方程

题目大意

一个三角形的三条边长分别为三个连续整数 \(t-1\)、\(t\)、\(t+1\)，且其面积为整数，对于给定的 \(n\)，你需要找出满足 \(t \ge n\) 的最小 \(t\) 所对应的且其面积为整数的三角形。

思路

先根据海伦公式求出这个三角形的面积：

\[S=\sqrt{p(p-t)(p-t-1)(p-t+1)} \]

然后 \(p=\frac{(t-1)+t+(t+1)}{2}=\frac{3t}{2}\)，

\[\begin{aligned} \therefore S&=\sqrt{\frac{3t}{2}\times\frac{t}{2}\times(\frac{t}{2}+1)\times(\frac{t}{2}-1)}\\ &=\sqrt{\frac{3t^2}{4} \times (\frac{t^2}{4}-1)}\\ &=\frac{t}{4}\times\sqrt{3(t^2-4)}\\ \end{aligned}\]

所以 \(3(t^2-4)\) 为整数。
设 \(3(t^2-4)=9y^2\)，则有：\(t^2-3y^2=12\)。
这是一个佩尔方程，可以知道 \(t_n=4t_{n-1}-t_{n-2}\)。
初始化为：\(t_1=4\)，\(t_2=14\)，往后递推即可。
我们注意到 \(t\) 一定是一个偶数，所以 \(4 \mid 3(t^2-4)\)，因此 \(S\) 一定是一个整数。
代码就很简单了：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
__int128 n,ma=1;
vector<__int128>v;
__int128 read(){
    __int128 a=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9'){
        a=a*10+c-48;
        c=getchar();
    }
    return a;
}
void write(__int128 a){
    if(a>9)write(a/10);
    putchar(a%10+48);
}
int main(){
    for(int i=0;i<30;++i)ma*=10;
    v.push_back(4);
    v.push_back(14);
    while(v[v.size()-1]<=ma){
        int sz=v.size()-1;
        v.push_back(4*v[sz]-v[sz-1]);
    }
    cin>>t;
    while(t--){
        n=read();
        int l=0,r=v.size();
        while (l<r){//二分查找出第一个满足条件的数
            int mid=l+r>>1;
            if (v[mid]>=n)r=mid;
            else l=mid+1; 
        }
        if(v[l]>=n){
            write(v[l]);
            putchar('\n');
        }else puts("-1");
    }
    return 0;
}