whk 趣事二则

省流：导多了．

其一

问题：求 \(29+16\cos x+12\sin x\) 的最大值．

设 \(f(x)=29+16\cos x+12\sin x\)，求导可得 \(f'(x)=-16\sin x+12\cos x\)，整理可得 \(\tan x=\dfrac{3}{4}\) 时 \(f'(x)=0\)，容易发现此时 \(x\) 是一个边长为 \(3,4,5\) 的直角三角形的一个锐角，易得此时的 \(\sin x\) 和 \(\cos x\)，代回原式即可求得最大值 \(49\)．

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然后我盯着这个看了一会．

不对啊这个是不是叫辅助角公式？

其二

求 \(\sin^2\theta\cos^2\theta\) 的最大值．

由均值不等式，显然有

\[\sin^2\theta\cos^2\theta\le\left(\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{2}\right)^2=\frac{1}{4}. \]

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然后我盯着这个看了一会．

不对啊这个是不是叫二倍角公式？

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涩图：

作者：RYO