根号大杂烩
序列分块
把一个数组简单地划分为若干块，若操作范围覆盖整块则整体操作，反之则暴力操作。由均值不等式可证，块长取 \(\sqrt{n}\) 可得到最优理论复杂度。
由于可以暴力操作且具有简单的结构，它有着比树形数据结构更为灵活的优势。同时，它还具有常数小的优势。
习题：
以下是比较板的题：
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教主的魔法，分块+二分答案。
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[Ynoi Easy Round 2017] 由乃打扑克，分块+二分答案+二分查找。
以下是比较有挑战的题：
[SNOI2022] 军队
题意简述：区间相同颜色加，区间两种颜色合并，区间求和。
注意到块内的颜色数单调不增。因此我们每个块内维护一个森林，叶子节点即为每个城市，向上代表颜色。接下来详细讲解各种操作：
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整块：
- 颜色加：直接在颜色节点打 \(tag\)。
- 颜色合并：若两种颜色都存在则新建父节点，将两种颜色合并上去，否则直接改颜色。可以证明最多新建 \(2\) 倍叶子节点数量的节点数。
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散块：
全部依靠暴力重构操作。- 颜色加：重构期间判断新颜色，直接加。
- 颜色合并：重构期间记录新颜色，直接合并。
如果重构部分写 pushdown 状物复杂度是线性的，如果从底加到顶要带个 \(\log\)。不过带 \(\log\) 也能过。
可以离线后逐块处理实现线性空间。
[Ynoi2018] 五彩斑斓的世界
突刺贯穿的第二分块。
解法：分块+并查集。开一个值域大小的并查集，这样我们就可以 \(O(1)\) 修改所有块内相同的值。同时通过维护 \(siz\) 数组来快速查询某数出现的次数，且可以随并查集的合并而合并。
接下来进行复杂度分析。注意到，对于本题的修改操作，块内的最大值 \(maxn\) 单调不增。\(maxn\) 最大为 \(10^5+1\)，\(m\) 最大为 \(5\times 10^5\)，可以视为均摊 \(O(1)\)。
对于整块的修改操作，我们分两种情况讨论：
当 \(2x\ge maxn\) 时，令所有大于 \(x\) 的数减去 \(x\)，此时暴力更新 \(maxn\)。
当 \(2x< maxn\) 时，令所有小于等于 \(x\) 的数加上 \(x\)，再将块上的 \(tag\) 加 \(x\)，表示真实值为整体减 \(tag\)。
对于散块，暴力拆散原来的并查集，直接修改并更新 \(maxn\) 就好。
整块更新是均摊 \(O(1)\)，散块更新是均摊 \(O(\sqrt n)\)。
同上一道题，离线后逐块处理以实现线性空间。
以上方法无法正确处理 \(a_i=0\) 的情况。注意到，修改操作不会产生新的 \(0\)，所以直接在一开始用前缀和处理掉 \(0\) 的询问，之后就不用管了。
莫队
很神的技巧。对于一些题目，如果所求的东西难以用常规数据结构维护且可以离线，那就可以尝试莫队。我们可以来看模板题 [国家集训队] 小 Z 的袜子。
考虑维护双指针 \(l,r\) 表示当前考虑区间 \([l,r]\)，我们可以容易地从 \([l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]\) 转移过来。那么在移动指针的同时 \(O(1)\) 修改当前的每种颜色袜子数的平方和即可。设当前某颜色的袜子数为 \(x_i\)，答案就是
现在考虑优化以减少指针移动次数。将询问离线，并将 \(n\) 分块，以询问左端点所在块编号为第一关键字，右端点为第二关键字升序排序。块长设置为 \(\dfrac{n}{\sqrt m}\)，这样做的时间复杂度是 \(O(n\sqrt{m})\) 的。
时间复杂度证明
序列长度为 \(n\)，询问次数为 \(m\)。
首先证明最优块长。设块长为 \(len\)，则总块数为 \(\dfrac{n}{len}\)，左指针共移动 \(O(m\cdot len)\) 次，右指针共移动 \(O\left(\dfrac{n^2}{len}\right)\) 次。总共移动 \(m\cdot len+\dfrac{n^2}{len}\) 次。由均值不等式，有
当且仅当 \(m\cdot len=\dfrac{n^2}{len}\) 时等号成立，此时 \(len=\dfrac{n}{\sqrt{m}}\)。
代入，得
故时间复杂度 \(O(n\sqrt{m})\)，在块长 \(len=\cfrac{n}{\sqrt m}\) 时取到。
莫队技巧
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奇偶排序优化
在排序右端点时，若当前左端点块编号为奇数则升序排序，反之则降序排序。可以减小左指针跨块时右指针的移动次数。 -
指针移动顺序
由于莫队经常要维护桶，在指针移动时若先执行 delete 操作，容易访问桶的负下标造成 RE，所以应当先写 add 操作再写 delete 操作。 -
莫队+值域分块
值域分块 \(O(1)\) 单点修改的特性很适合莫队的指针移动。 -
莫队+bitset
和值域分块类似，但是更好写一些。 -
带修莫队
模板题 [国家集训队] 数颜色 / 维护队列。
现在仅 \(l,r\) 不足以表达当前状态，需要加上时间维度，即 \(l,r,t\)。
现在排序以左端点所在块为第一关键字，右端点所在块为第二关键字，时间为第三关键字。设 \(n,m,t\) 同阶，块长设为 \(n^{2/3}\)，可得到理论最优时间复杂度 \(O(n^{5/3})\)。详细证明及 \(n,m,t\) 不同阶时的具体分析较为繁琐，可以看 OI Wiki 中的证明。 -
树上莫队
把树拍到括号序上，记录 \(vis\) 数组表示当前选/不选节点，每次访问到节点时反转 \(vis\) 即可。
根号分治
[NOI Online #1 入门组] 跑步
对和为 \(n\) 的可重集计数。
考虑两种方法：
- 设 \(f_{i,j}\) 表示集合中的数不超过 \(i\) 且和为 \(j\) 的方案数，使用类似完全背包的转移：\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-i} \]\(f_{n,n}\) 即为答案，时间复杂度 \(O(n^2)\)。
- 设 \(g_{i,j}\) 表示集合中有 \(i\) 个数且和为 \(j\) 的方案数，我们每次可以给集合中新加入一个 \(1\) 或者令集合中的数整体加 \(1\)：\[g_{i,j}=g_{i-1,j-1}+g_{i,j-i} \]\(\sum_{i=0}^n g_{i,n}\) 即为答案，时间复杂度 \(O(n^2)\)。
考虑将这两个做法融合一下：我们令小于 \(B\) 的数使用第一个方法，时间复杂度 \(O(Bn)\)，大于等于 \(B\) 的数使用第二个方法，时间复杂度 \(O(Bn)\)（把加入 \(1\) 和整体加 \(1\) 中的 \(1\) 改为 \(B\)），之后可以枚举使用第一个方法选出和为 \(i\) 的方案数，求用第二个方法选出和为 \(n-i\) 的方案数相乘后累加即可，取 \(B=\sqrt n\) 可以做到 \(O(n\sqrt n)\) 的复杂度。
无向图三元环计数
将无向图定向：若 \(u,v\) 度数不同，则方向为度数小的向度数大的连边，否则编号小的向编号大的连边。容易证明这样定向后的图是有向无环图。同时也容易得出原图上的三元环 \((u,v,w)\) 在新图上一定是一个形如 \((u\to v),(v\to w),(u\to w)\) 的子图。则我们直接暴力遍历所有 \(u\)，先将 \(u\) 可达的点打上标记，遍历 \(v,w\)，检查 \(w\) 是否被打上标记即可。
下面证明这个算法的复杂度是 \(O(m\sqrt m)\) 的：
设 \(E\) 为原图，\(E'\) 为新图，\(\text{outdeg}(u)\) 表示 \(u\) 在 \(E'\) 上的出度，\(\text{deg}(u)\) 表示 \(u\) 在 \(E\) 上的度数。
将所有点分配到以下两个集合：
- \(S_1=\{u|\text{deg}(u)\le \sqrt m\}\)；
- \(S_2=\{u|\text{deg}(u)>\sqrt m\}\)。
则该算法时间复杂度为：
下证所有 \(u\) 的 \(\text{outdeg}(u)\) 都是 \(O(\sqrt m)\) 的：
- \(u\in S_1\)：
显然 \(\text{outdeg}(u)\le \text{deg}(u)\le \sqrt m\)。 - \(u\in S_2\)：
事实上，\(\text{deg}(u)\) 大于 \(\sqrt m\) 的 \(u\) 只有 \(O(\sqrt m)\) 个：\[|S_2|\cdot \sqrt m<\sum_{u\in S_2}\text{deg}(u)\le 2m \]故 \(|S_2|\le 2\sqrt m\)。
而根据连边规则，\(u\) 只能向 \(\text{deg}(v)\ge \text{deg}(u)\) 的点 \(v\) 连边，所以 \(\text{deg}(v)>\sqrt m\)，故最多连 \(O(\sqrt m)\) 条边。
又因为 \(|E'|\) 是 \(O(m)\) 的，所以该算法为 \(O(m\sqrt m)\) 的。
同时，我们也证明了无向图三元环的数量是 \(O(m\sqrt m)\) 的。
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