[信星社] 称重（脑电波波波波）

我的AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0); cout.tie(0);

  freopen("weight.in", "r", stdin);
  freopen("weight.out", "w", stdout);

  int n, h;
  cin >> n >> h;
  int l = 0, r = h, ans = 0;
  for (int i = 1; i < n; i++) {
      int b;
      cin >> b;
      int nl = max(0, b - r), nr = min(h, b - l);
      if (nl <= nr) {
          l = nl; r = nr;
      } else {
          ++ans; l = 0; r = h;
      }
  }
  cout << ans;
  return 0;
}

我看了题解才写出的代码。

我感觉这题就很脑电波啊——模板题能套、思维题能想，这个题感觉就是根本不知道出题人是不是做梦写出来的。（潜意识深处の呓语？）想出来是红题，想不出是黑题。但我感觉碳基生物都想不出来，就像你不知道第一个生物是怎么出现的一样无厘头。你看看能发现什么经验或规律不？

以下内容由 DeepSeek 生成

你这种“想出来是红题，想不出是黑题”的感觉，其实精准地描述了贪心构造题的典型特征。这题的关键不在于算法模板，而在于一个“决策视角的转换”。我们把它拆开看，你会发现它没有那么“呓语”。

题目在说什么

有 \(n\) 个物品排成一行，每个重量在 \([0, H]\) 内。给你 \(n-1\) 条记录，第 \(i\) 条说“第 \(i\) 个和第 \(i+1\) 个重量之和是 \(b_i\)”。但这些记录可能互相矛盾。你要删掉尽量少的记录，让剩下的记录能同时成立。

题解里给的核心观察是：

如果连续的一段记录都保留，那么每件物品的可行重量构成一个连续区间。

这是整道题唯一的“开关”。一旦想到这句话，后面就全是机械操作了。

为什么你想不到“可行区间”这个视角

因为大多数人拿到题的第一反应是：枚举每个物品的重量，或者枚举删哪些记录。这两条路都是组合爆炸。

而题解的视角是：我不枚举具体值，我维护一个值的范围。

假设当前物品的可行重量是区间 \([L, R]\)。下一条记录说 \(w_i + w_{i+1} = b_i\)，那么：

\[w_{i+1} = b_i - w_i \]

当 \(w_i\) 在 \([L, R]\) 里取遍时，\(w_{i+1}\) 的范围就是 \([b_i - R,\ b_i - L]\)。再和 \([0, H]\) 取交集：

\[L' = \max(0,\ b_i - R), \quad R' = \min(H,\ b_i - L) \]

如果 \(L' > R'\)，说明这条记录和前面的记录无法同时成立，必须删掉当前这条。

你的代码里就是这两行：

int nl = max(0, b - r), nr = min(h, b - l);
if (nl <= nr) { l = nl; r = nr; }
else { ++ans; l = 0; r = h; }

完全对应。

“删除并重置”为什么是对的

这是贪心正确性的核心，也是“脑电波”感最强的地方。

策略是：从左到右扫，一旦发现矛盾，就删掉当前这条记录，然后把区间重置为 \([0, H]\)，从下一个物品重新开始。

直觉上你会担心：万一删前面某一条比删当前这条更优呢？

题解的证明用的是调整法：

任取一个最优方案，考虑第一段从 \(s\) 开始，\(b_t\) 是第一个出现矛盾的位置。原方案在 \(s\) 到 \(t\) 中至少删了一条。我们可以把这段内的删除全部替换成只删 \(b_t\)：左侧 \(b_s \dots b_{t-1}\) 全部保留（因为 \(t\) 是第一个矛盾位置，它们一定相容）；右侧删除 \(b_t\) 后，物品 \(t+1\) 与左侧断开约束，原方案右侧仍然成立。这样调整后删除数不会增加。

翻译成人话：第一次矛盾的位置，删它永远不亏。因为矛盾是“累积”出来的，你删更早的记录，后面未必更好；而删当前这条，左边全部保留，右边断开重来，不会比任何最优解差。

这就是为什么你的代码可以在 else 分支里直接 ++ans 并重置，不用回头修改前面的决策。

这类题的经验规律

你说得对，这题“模板题能套、思维题能想”，但它既不是纯模板也不是纯直觉。我把它归为“可行域贪心”，这类题有几个可识别的信号：

信号一：约束是“相邻之和”“相邻之差”这类线性关系。
一旦看到 \(w_i + w_{i+1} = b_i\) 或 \(w_{i+1} - w_i = b_i\)，并且每个 \(w_i\) 有独立的上界下界，就要立刻想：可行值是不是构成区间？ 因为线性约束把区间映射成区间，这是闭区间在加法下的性质。

信号二：问“最少删多少条”而不是“怎么构造”。
“最少删除”往往意味着贪心，而贪心的关键通常是找到“第一次必须做决策的位置”。这题里就是第一个矛盾点。

信号三：数据范围 \(n \le 2\times 10^5\)，但值域 \(H\) 可能很大。
如果 \(H\) 很小（比如 \(\le 2000\)），你可以开一个 DP 数组扫值域；但 \(H\) 可以到很大，这就逼着你放弃“枚举值”，转向“维护区间”。题解也说了，\(O(nH)\) 的 DP 能拿 40 分，但满分需要 \(O(n)\) 的区间贪心。

信号四：题目描述里有“记录可能矛盾”“可以删除”这类字眼。
这是在暗示你：不需要让所有约束同时成立，你拥有“拒绝约束”的权力。 有权力拒绝，贪心就往往成立——因为你可以随时“断尾求生”。

你可以怎么训练这种直觉

做完一题后，专门问自己：这题的“关键观察”是什么？它是怎么从题目条件里长出来的？
比如这题：\(w_i + w_{i+1} = b_i\) + 每个 \(w_i\) 有界 → 可行区间。把这条逻辑链写下来。
积累“映射”直觉：
- 区间 + 线性变换 → 区间
- 区间 + 取交集 → 区间
- 区间为空 → 约束冲突
  这类代数直觉在贪心构造题里非常常用。
对拍时故意写暴力：
这题的暴力是枚举删哪些记录 + 检查可行性。写一遍暴力，你就能亲眼看到“贪心删当前”和“暴力最优删”的结果总是一样，正确性就变得具体了。

你代码风格还是那么稳：max/min 取边界、++ans 重置区间、freopen 模板，一眼就是你的手笔。这题你“看了题解才写出来”不丢人——贪心构造题的关键观察本来就是竞赛里最稀缺的能力，它靠的是积累“视角”，不是靠聪明。

你想接着拿这题的暴力对拍练一下，还是去找下一道同类型的“可行域贪心”来验证一下这个直觉？

posted @ 2026-10-02 22:00 Void__114 阅读(2) 评论(0) 收藏举报

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