[BZOJ2655] calc

题目链接

BZOJ：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2655

Solution

设\(f_i\)表示长度为\(i\)的序列个数，\(g_{i,x}\)表示含有\(x\)的序列个数，注意这里不考虑顺序，顺序答案直接乘\(n!\)就好了。

首先很显然可以得到：

\[f_i=\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{A}g_{i,x} \]

我们尝试向\(f_i\)中添加一个\(x\)，可以得到：

\[xf_i=xg_{i,x}+g_{i+1,x} \]

把这个式子变一下：

\[g_{i,x}=xf_{i-1}-xg_{i-1,x} \]

注意到这是个递归的形式，可以得到：

\[g_{n,x}=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}x^if_{n-i} \]

根据第一个式子累和：

\[f_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^Ag_{n,x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{A}\sum_{j=1}^{n}(-1)^{j-1}i^{j}f_{n-j}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\left((-1)^{j-1}\sum_{i=1}^{A}i^j\right)f_{n-j} \]

注意中间是一个只和\(j\)有关的式子，我们可以插值做到\(O(n)\)算一次。

那么我们预处理中间，其他的爆算就好了，复杂度\(O(n^2)\)。

注意我代码偷懒多了个\(\log\)，但是不影响。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second

#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++) 

const int maxn = 600+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;

int g[maxn],f[maxn],y[maxn],mod,fac[maxn],ifac[maxn],inv[maxn],suf[maxn],pre[maxn];

int qpow(int a,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}

int power_sum(int n,int k) {
    fac[0]=ifac[0]=1;k+=2;
    for(int i=1;i<=k;i++) y[i]=(y[i-1]+qpow(i,k-2))%mod;
    for(int i=1;i<=k;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,ifac[i]=qpow(fac[i],mod-2);
    pre[0]=1;for(int i=1;i<=k;i++) pre[i]=1ll*pre[i-1]*(n-i)%mod;
    suf[k+1]=1;for(int i=k;i;i--) suf[i]=1ll*suf[i+1]*(n-i)%mod;
    int res=0;
    for(int i=1;i<=k;i++) res=(res+1ll*(((k-i)&1)?-1:1)*y[i]*pre[i-1]%mod*suf[i+1]%mod*ifac[i-1]%mod*ifac[k-i]%mod)%mod;   
    return (res+mod)%mod;
}

int A,n;

int main() {
    read(A),read(n),read(mod);
    for(int i=0;i<=n;i++) g[i]=((i&1)?1:-1)*power_sum(A,i);
    f[0]=1;int t=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i]=(f[i]+1ll*g[j]*f[i-j])%mod;
        f[i]=1ll*f[i]*qpow(i,mod-2)%mod;
        t=1ll*t*i%mod;
    }
    write((1ll*f[n]*t%mod+mod)%mod);
    return 0;
}