[bzoj1048] [HAOI2007]分割矩阵

Description

　　将一个a*b的数字矩阵进行如下分割：将原矩阵沿某一条直线分割成两个矩阵，再将生成的两个矩阵继续如此分割（当然也可以只分割其中的一个），这样分割了（n-1)次后，原矩阵被分割成了n个矩阵。（每次分割都只能沿着数字间的缝隙进行）原矩阵中每一位置上有一个分值，一个矩阵的总分为其所含各位置上分值之和。现在需要把矩阵按上述规则分割成n个矩阵，并使各矩阵总分的均方差最小。请编程对给出的矩阵及n，求出均方差的最小值。

Input

第一行为3个整数，表示a,b,n(1<a,b<=10,1<n<=10）的值。
第二行至第n+1行每行为b个小于100的非负整数，表示矩阵中相应位置上的分值。每行相邻两数之间用一个空格分开。

Output

仅一个数，为均方差的最小值（四舍五入精确到小数点后2位）

Sample Input

5 4 4
2 3 4 6
5 7 5 1
10 4 0 5
2 0 2 3
4 1 1 1

Sample Output

0.50

Solution

首先要知道均方差是什么东西，反正我是公式没记全然后被坑了好久。。

对于一组数据\(a_i\)，设其平均值为\(\mu\)，那么均方差\(\sigma\)为：

\[\sigma=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(a_i-\mu)^2}{n}} \]

然后直接爆搜就好了。。。总状态不多，要加个记忆化保证复杂度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

const int maxn = 2e5+10;

#define lf double
#define sqr(x) ((x)*(x))

lf f[11][11][11][11][11],aver,s[11][11];
int n,m;

lf dfs(int a,int b,int c,int d,int k) {
	lf &res=f[a][b][c][d][k];
	if(res!=-1.0) return res;
	if(k==0) return res=sqr((lf)s[c][d]-s[a-1][d]-s[c][b-1]+s[a-1][b-1]-aver);
	res=1e9;
	for(int i=a+1;i<=c;i++)
		for(int j=0;j<k;j++) 
			res=min(res,dfs(a,b,i-1,d,j)+dfs(i,b,c,d,k-j-1));
	for(int i=b+1;i<=d;i++)
		for(int j=0;j<k;j++)
			res=min(res,dfs(a,b,c,i-1,j)+dfs(a,i,c,d,k-j-1));
	return res;
}

#define FOR(i) for(int i=0;i<=10;i++) 

int main() {
	int k;read(n),read(m),read(k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1,x;j<=m;j++)
			read(x),s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+(lf)x;
	aver=s[n][m]/(lf)k;
	FOR(a) FOR(b) FOR(c) FOR(d) FOR(e) f[a][b][c][d][e]=-1;
	printf("%.2lf\n",sqrt(dfs(1,1,n,m,k-1)/(lf)k));
	return 0;
}