[bzoj1025] [SCOI2009]游戏
Description
windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。 如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6 windy的操作如下
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6
这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可
能的排数。
Input
包含一个整数N,1 <= N <= 1000
Output
包含一个整数，可能的排数。
Sample Input
10
Sample Output
16
Solution
根据一点点置换知识可以知道，对于一个循环，排数应该是
\[{\rm{ lcm}}(a_1,a_2,\cdots , a_k)$$，其中$a_i$为循环节长度。
那么问题就变成了，求这个$lcm$的种类数。
设$lcm=\prod_{i=1}^{r}a_i^{p_i}$，那么显然这种情况的$n$最小是$\sum_{i=1}^ra_i^{p_i}$，其中$a_i$为质数。
那么这就是一个背包问题了，设$f[i][x]$表示前$i$个质数构成$n$为$x$的方案数。
这个直接背包转移就好了。
~~具体细节看代码~~
~~~c++
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long //(>▽<)
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
#define write(x) printf("%lld\n",x)
const int maxn = 1e3+10;
int f[220][1020],pri[maxn],vis[maxn],tot;
void sieve(int n) {
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(!vis[i]) pri[++tot]=i;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++) {
vis[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0) break;
}
}
}
signed main() {
int n;read(n);
f[0][0]=1;sieve(n);
for(int i=1;i<=tot;i++)
for(int j=0;j<=n;j++) {
f[i][j]+=f[i-1][j];
for(int k=pri[i];k<=j;k*=pri[i]) f[i][j]+=f[i-1][j-k];
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=n;i++) ans+=f[tot][i];
write(ans);
return 0;
}
~~~\]
