[bzoj1019] [SHOI2008]汉诺塔

Description

  汉诺塔由三根柱子(分别用A B C表示)和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上,大的在下面,小的在上面,形成了一个塔状的锥形体。

img

  对汉诺塔的一次合法的操作是指:从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层,同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面(如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求)。我们可以用两个字母来描述一次操作:第一个字母代表起始柱子,第二个字母代表目标柱子。例如,AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先,在任何操作执行之前,我们以任意的次序为六种操作(AB、AC、BA、BC、CA和CB)赋予不同的优先级,然后,我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子,直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子:(1)这种操作是所有合法操作中优先级最高的;(2)这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明,上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级,计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

  输入有两行。第一行为一个整数n(1≤n≤30),代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符,代表六种操
作的优先级,靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

  只需输出一个数,这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

Solution

网上学来的神仙解法。。

首先,由于有优先级,答案是固定的,按题意模拟就是对的,只是时间复杂度不允许。

普通的汉诺塔的解法是这样的:先把前\(n-1\)块放在任意一个其他的柱子上,然后把最大的放好,在把前面的一堆弄上去。

递推式就是\(d[n]=d[n-1]*2+1\)

由于题目保证有解,那么类似于上面的做法,由数学归纳法可得答案必然满足一个一阶递推式:\(d[n]=d[n-1]*k+b\)

然后可以爆搜出前三项,得到参数,递推即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 

void read(int &x) {
	x=0;int f=1;char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

#define write(x) printf("%lld\n",x)

const int maxn = 2e5+10;

int s[10],n,d[100];
char c[10];
int r[4][5];

int trans(char *w) {return (w[1]-'A')*3+w[2]-'A';}

void work(int x) {
	int lst=-1;
	for(int i=1;i<=3;i++) r[i][0]=0;
	for(int i=x;i;i--) r[1][++r[1][0]]=i;
	for(int ans=1;ans<=60;ans++) {
		for(int i=1;i<=6;i++) {
			int a=s[i]/3+1,b=s[i]%3+1;
			if(!r[a][0]) continue;
			if(r[a][r[a][0]]==lst) continue;
			if((r[b][0]&&r[a][r[a][0]]<r[b][r[b][0]])||(!r[b][0])) {
				lst=r[b][++r[b][0]]=r[a][r[a][0]--];break;
			}
		}
		if(r[2][0]==x||r[3][0]==x) return d[x]=ans,void();
	}
}

signed main() {
	read(n);
	for(int i=1;i<=6;i++) scanf("%s",c+1),s[i]=trans(c);
	work(1);work(2);work(3);
	if(n<=3) return write(d[n]),0;
	int k=(d[3]-d[2])/(d[2]-d[1]),b=d[3]-d[2]*k;
	for(int i=4;i<=n;i++) d[i]=d[i-1]*k+b;
	write(d[n]);
	return 0;
}
posted @ 2019-02-06 17:43  Hyscere  阅读(40)  评论(0编辑  收藏