「JXOI 2018」 排序问题

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\(Solution\)

\(50\ pts\)

我们来看一下题目,可以很容易的写出来答案的式子:

\[\frac{(n+m)!}{a_1!a_2!...a_{tot}!} \]

\(a_1,a_2,...,a_{tot}\)为\(n+m\)个数中不同的数出现的个数

那么\(50\)便很好想了.

我们现在要求的是期望轮数最多,所以\({a_1!a_2!...a_{tot}!}\)要尽量小

所以我们可以贪心求解,每次找出\([l,r]\)中出现次数最少的数,找\(m\)次即可,这用个堆维护一下就好了

\(100 \ pts\)

我们还是需要\({a_1!a_2!...a_{tot}!}\)尽量小

于是我们可以二分出\(a_1,a_2,...,a_{tot}\)中的最小值的最大值，我们令这个值为\(ans\)

那么我们现在就可以知道了\(a_1,a_2,...,a_{tot}\)的分布

对于\(>ans\)的或不在[l,r]这个区间内的,直接将他们阶乘乘起来即可.

对于[l,r]内个数\(<=ans\)的,进行如下操作:

算出将[l,r]内个数\(<=ans\)的边成\(ans\)后剩下\(m\)个数还剩下几个.我们令这个数为\(c\),[l,r]内去见个数\(<=ans\)的数有\(k\)个

我们将这\(c\)个数分成不同的\(c\)个插入数列即可.

所以现在的个数为:

\(c\) 个个数为 \(ans+1\)
\(k-c\)个个数为 \(ans\)

直接快速幂求,最后吧求的乘起来,用\((n+m)!\)除他就好了.

\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rg register
#define file(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout);
using namespace std;
const int mod=998244353;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
    return f*x;
}
int n,m,tot,a[2000010],sum[2000010];
inline int check(int x,int len){
    int ans=0,flag=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        if(sum[i]>x)
            break;
        ans+=sum[i],flag=i;
    }
    int k=(len-tot+flag);
    return m-(k*x-ans);
}
inline int ksm(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod,b>>=1;
    }
    return ans;
}
int jc[20000010];
main(){
    int T=read(),l,r;
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=10200000;i++)
        jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
    while(T--){
        n=read(),m=read(),l=read(),r=read(),tot=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            a[i]=read();
        sort(a+1,a+1+n);
        int p=0,js=1;
        a[n+1]=-2147483647;
        for(int i=1;i<=n+1;i++){
            if(a[i]!=a[i+1]){
                if(a[i]<=r&&a[i]>=l)
                    sum[++tot]=i-p;
                else js=js*jc[(i-p)]%mod;
            p=i;
            }
        }
        sort(sum+1,sum+1+tot);
        int L=0,R=m+n,maxx=0;
        while(L<=R){
            int mid=(L+R)>>1;
            if(check(mid,(r-l+1))>=0)
                L=mid+1,maxx=max(maxx,mid);
            else R=mid-1;
        }
        int ans=0,flag=0,len=(r-l+1);
        for(int i=1;i<=tot;i++) {
            if(sum[i]>maxx) break;
            ans+=sum[i],flag=i;
        }
        int k=(len-tot+flag),c=m-(k*maxx-ans);
        for(int i=flag+1;i<=tot;i++) js=js*jc[sum[i]]%mod;
        js=js*ksm(jc[maxx+1],c)%mod,js=js*ksm(jc[maxx],k-c)%mod;
        printf("%lld\n",jc[n+m]*ksm(js,mod-2)%mod);
    }
    return 0;
}