I.小沙的金银阁

I.小沙的金银阁

题目描述

小沙开设了金银阁娱乐场所，前去邀请小雅来游玩。

金银阁的规则是：每轮游戏开始之前需要压下一定的灵石（玩家指定，但不得超过自身所带的灵石上限），如果失败，则输掉该轮压的所有灵石，如果获胜则获得该轮所压灵石数以及本金。

小雅带来了 m 块灵石，这时有一位预言家告诉小雅，你接下来参加的 n场比赛，仅有一场能够押对赚灵石，其它的 n−1 场均会输掉灵石。现需要小雅设计她的方案，当她获胜之后，她就会卷灵石跑路（因为显然接下来每局是必输的）。小雅想请你帮她设计最优的赚灵石方案。

你需要保证，小雅每场所压灵石数均为正整数。

在能必定不会亏灵石的条件下（你可以玩完n轮下来，一分钱没赚），对于任意的另一个方案，在第 X 轮获胜的时候，前 X−1 轮，每轮结束之后剩余灵石相同，第 X 轮获胜时总灵石越多，则该方案优于其它方案。

例如：

比赛轮数为 3 ，灵石数为 1 。
方案1为： 2 , 3 , 6 。
方案2为： 2 , 2 , 7 。
则方案 1 更优，因为方案 1 第 2 轮获胜之后，有 12个灵石，方案 2 ，第二轮获胜只拥有 11 个灵石。

输入描述:

第一行输入两个整数，n，m，其中 n 代表比赛的轮数，m 代表小雅带来的灵石数，\(1 \le n \le 10^5\),\(1 \le m \le 10^{15}\)。

输出描述:

输出 n 个正整数，并保证他们的和不超过 m ，如果没有方案能够赚取灵石，输出一个 -1 。

输入

3 11

输出

2 3 6

说明

本方案中：
如果第1轮获胜，那么可以赚取2块灵石，已有11个灵石，总灵石数为13。
如果第2轮获胜，那么可以赚取3块灵石，已有9个灵石，总灵石数为12。
如果第3轮获胜，那么可以赚取6块灵石，已有6个灵石，总灵石数为12。

思路点拨1:

借鉴思路 「CCSU_梅子酒」

• 我们首先要构造出一种保证不会亏损的方案，我们假设第一轮下注x枚灵石，如果第一轮就赢显然不亏，如果输了那么我们就要考虑第二轮赢把第一轮的灵石赢回来的情况，就也要下注 x 枚灵石，同理第三轮我们要考虑第三轮赢回前两轮输掉的灵石，下注 \(2x\)，以此类推每轮都要下注前一轮两倍的灵石数，第 n 轮就需要下注 \(x * 2^{n-2} \) ，n 轮总共要下注 \(x * 2^{n-1} \) 枚灵石,等比数列前n-1项和，由于前n-1项和为\(x*2^0,x*2^1,x*2^2,\cdots,x*2^{n-2}\)相加得到，所以根据等比数列前n项和公式（n为项数）：\(S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\),得到前n-1项和为\(x*(2^{n-1}-1)\)。但是由于原序列为\(x*1,x*1,x*2,x*4,x*8,\cdots,x*2^{n-2}\)，所以最终和为\(x*2^{n-1}\)。所以要满足下注的所有灵石和不能超过 m，所以最小的合法方案就是当 x = 1的时候，每次都只下注最低标准的灵石，如果 \(m < 2^{n-1} \) 则输出 −1,无合法方案。最小方案的构造方法是，每次只下注最小的满足金额，第一次下注 1，之后的每一轮都按照该轮会赢，且我们只赢回本金的方法下注。
• 当能保证不亏损时再去考虑如何更优，注意题目中所说的 前 X−1 轮，每轮结束之后剩余灵石相同，第 X 轮获胜时总灵石越多，则该方案优于其它方案。 我们从最小的方案开始想起，如何能更优的构造，假设前 n − 1 轮下注灵石相同，在最后一轮我们不下注 \(2 ^ {n-2}\), 而是下注更多，这样在第 n轮我们获胜的这一种情况下就会更优，其他轮获胜的情况相同。 同理向前推，第 n − 1 轮如果也下注更多在保证第 n 轮能不亏本的情况下会更优。所以结论是在保证不亏的基础上，下注越多越好。前面赌的灵石越大越好，所以我们直接从后面开始做起，考虑最后面一场只要保本就好，取一半向上取整的数目的灵石，然后不断重复操作即可。

思路点拨2：

• jiangly赛时代码思路：
• 数据范围可以优化一下，对于\(2^{50}\)已经超过了18位数字，所以如果n>50了，那么对于m<\(10^{15}\)来说，应该永远都满足\(m < 2^{n-1}\)。
• 对于从后向前向上取整，保证不亏这个条件，可以分析得到如果后面是向上取整的得到的，那么前面一定是向下取整的得到的，那么我们完全可以正过来算，可以从前向后算，。
• 不懂没事，我也对原理也不是很懂，但是可以通过实例解释一番。
• e.g.题目所给k = 3，n = 11。
• • 先从后向前考虑，对11进行除以2，得到向上取整结果6和向下取整结果5，然后对5进行除以2，得到向上取整结果3和向下取整结果2，所以最后答案为2,3,6。
  • 然后从前向后考虑，对于第一次应该除以的数是2的2次方，也就是4，得到向下取整结果为2和向上取整结果为3，而第二次应该除以的数就是2的一次方，也就是2，得到向上取整结果6和向下取整结果5,对于5来说正好是前面两个数的和。所以这两种考虑方式是等价的，

提交代码

简单从后向前思路代码

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;


int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    i64 n,m;
    std::cin>>n>>m;
    i64 s[100005];
    s[n]=m;
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
    {
        s[i]=s[i+1]/2;
        s[i+1]=s[i+1]-s[i];
        if(s[i]==0)
        {
            std::cout<<-1;
            return 0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        std::cout<<s[i]<<" \n"[i==n];
    }
    return 0;
}

jiangly大佬赛时从前向后计算代码：

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    i64 m;
    std::cin >> n >> m;
    
    if (n > 50 || (1LL << (n - 1)) > m) {
        std::cout << -1 << "\n";
        return 0;
    } 
    
    i64 sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        i64 x = (m >> (n - i - 1)) - sum;
        std::cout << x << " \n"[i == n - 1];
        sum += x;
    }
    
    return 0;
}