数据结构 Chapter 8 - The disjoint set ADT

等效关系

本章首先介绍了此章数据结构的数学模型：等效关系和具备该关系元素的集合。
等效关系分为三条属性：

1. 自身性：对集合中的所有元素，都与与其自身等效
2. 对称性：如果a与b等效，则b与a等效
3. 传递性：如果a等效于b，b等效于，则a等效于c
   等效关系包括如：电子连接性、城市被道路连接等。

等效问题数据结构

要解决等效问题的数据结构模拟，可以用数组(array)树来进行模拟集合。首先各个元素各处于各自的单独集合中，此时各元素互不等效。由于在等效问题中，我们只需要判断两个元素是否在一个集合中，而不需要其具体在集合中的位置信息，所以我们可以用数组的index来表示元素，用相应index的数组中的所存数值来表示其parent。如果某元素已经是根了，则其相应数组中的数值应为0(假设在0位置的数组中不存元素)。
该数据结构应至少存在两个operation，一个为Find(),用于找出给定元素所在的集合，一个为Union，将两个集合进行合并。
Find()的实现方式为给定一个元素，用其根表示其所在的集合，若两个元素的根相同，则二者等效。Union()的实现方式为，将两者的其中一个变为另一个的parent即可。
相应地，有一定的优化选择来提高运行速度。
对Find的优化为path compression。由于集合的平均高度越小，Find的运行时间越短O(H)，故在每次运行find时，将路径上的所有元素都变为根的child，称为path compression，可以对整个集合树进行优化。
对Union的优化为对Union中的元素进行额外信息标注。每个集合应该记录下其总元素数或者其最大高度，此值可以记录在根元素里，原来的0变为总元素数或者最大高度的负数即可。在实际中，使用最大高度更为常见，之后在union中我们选择将高度小的集合作为高度大的集合的子树来合并即可。注意如果进行path compression，最大高度可能会变化，此时的最大高度将不再成为最大高度，而是称为rank，永远小于等于最大高度。分析发现，以rank代替最大高度来进行合并并不影响优化的结果。
对于一个Union的M次Find/Union操作，其时间为O(MlogN). (logN 基本小于等于4，为1到4之间的整数) 运行时间基本约等于线性增加。