CCPC2023-Shenzhen

\[\LARGE \textrm{Problem A. A Good Problem} \]

• \(a_i\in[0, n]\)

分治，考虑做值域为 \([L,R)\) 的一部分，保证初始情况下所有数都是 \(L\)，然后把所有值域在 \([mid, R)\) 的数抬到 \(mid\)，再做分成的两部分。

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\[\LARGE \textrm{Problem F. Gift} \]

基环树，枚举每一条环上的边删掉，不能出现度数大于等于 \(5\) 的点，度数等于 \(4\) 的点不能作根，计数即可。

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\[\LARGE \textrm{Problem G. Gene} \]

考虑第 \(i\) 列，字符 \(c\) 没有出现的串组成的集合为 \(S(i, c)\)，用 bitset 维护。

每次询问的时候再利用 bitset 维护哪些串可能为答案，由于 \(k\) 很小，枚举列，bitset 求交后枚举每个未匹配的串。

时间复杂度 \(O\left(QMK+\dfrac {QMN}\omega\right)\)，空间复杂度 \(O\left(\dfrac{NM|\Sigma|}\omega+(N+Q)M\right)\)

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\[\LARGE \textrm{Problem I. Indeterminate Equation} \]

\(a^k-b^k = (a-b)\sum\limits_{i+j=k-1,i,j\in\mathbb N} a^ib_j\)，因此 \((a-b)|n\)。

不妨设 \(a = b+t\)，二项式展开后有 \((b+t)^k-b^k>t^k\)。因此 \(a-b\) 不大于 \(10^6\) 且为 \(n\) 的因数。枚举之，二分出 \(b\) 的值即可。

时间复杂度 \(O(\sqrt[k]N + d(N)\log N))\)

\[\LARGE \textrm{Problem L. Rooted Tree} \]

维护叶子节点的平均深度，递推即可。

\[\LARGE \textrm{Problem E. Two in One} \]

考虑答案的一个上界，即取一个颜色 \(x\) 出现 \(c_1\) 次，一个颜色 \(y\) 出现 \(c_2\) 次，答案为 \(\max\limits_{a\in[0,c_1],b\in[0,c_2]}a\operatorname{ or }b\)。

这个从高到低考虑，若存在某一位恰好两个数 \(c_1,c_2\) 都为 \(1\)，就选择一个退一位，把后面的 \(0\) 改成 \(1\)。

说明一下这个上界是可以取到的：

如果第一个数先出现第四高位的话（10110000000），等第二个数跑到 00001111111，反之等第一个数跑到 10101111111。