矩阵哈希

矩阵哈希

矩阵哈希可以解决一系列消消乐问题，即：

​ 给定一个序列 \(A\) ，每次可以消除相邻相同两项，问是否可以消除完。

这一类问题。

---

做法

我们对每个字符 \(c\) 随机一个矩阵 \(M_c\)，那么当出现奇数次的时候乘 \(M_c\) ，出现偶数次的时候乘他的逆 \(M_c^{-1}\) 。那么当一个序列里的所有数按顺序乘起来为 \(I\) 的时候，此时这个序列就可以被消掉了。

那为啥不能用数呢？

容易发现矩阵和数的最大区别就是不具备交换律。

具体地例子是：

\(ABAB\) ，这个在矩阵的时候是 \(M_A\cdot M_B\cdot M_A^{-1}\cdot M_B^{-1}\)， 很显然乘起来并不是 \(I\) ，但是当他是数的时候就寄了。

这时候我们就知道矩阵的牛逼之处了：

由于不具备交换律，那么此时由于只具有结合律，这种类似括号匹配的事情就可以轻松处理。

---

更多的，我们可以设置 \(M_c=M_c^{-1}\)，这样就不用考虑奇偶了。

我们设 \(|M_c|=D\) ，那么

\({\begin{bmatrix}a,b\\c,d\end{bmatrix}}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{-d}{D},\frac{b}{D}\\\frac{c}{D},\frac{-a}{D}\end{bmatrix}\)

只要满足 \(D=1\)， \(a+d=0\) 即可。

随机出 \(a\) 和 \(b\) ，那么 \(d=-a\) ，\(c=\frac{ad-1}{b}\) 。

---

群论

这其实是从群论角度来理解这个问题。

在这里我们将补充一些群论知识：

群的基本定义

我们首先从集合 \(S\) 出发，一步步通过增添性质来构造群。

首先加入运算符 \(*\) ，那么此时我们就有了一个二元组 \((S,*)\) 。

但是如果随便给一个运算符 \(*\) ，可能会带来一些不好的影响，比如我们在 \(S\) 中任意选了两个元素 \(a,b\) ，\(a*b\notin S\) ，那这样就很不方便了。

为了方便，我们让 \(*\) 具有封闭性，即 \(\forall a,b\in S ,a*b\in S\) 。

那么当我们将封闭性这一条性质加入时：

我们得到了一个原群（magma)！

更进一步，我们在这里只考虑了2个元素的运算，那多个元素呢？

考虑 \(a,b,c\in S\) ，那我们要怎么计算这三者的运算呢？

如果\((a*b)*c\neq a*(b*c)\) 的话，那么此时 \(a*b*c\) 如何计算我们将一头雾水。

那么当我们将结合律这一条性质加入时：

我们得到了一个半群（semi group)！

这就是半群的定义：对于一个二元组 \((S,*)\) ，如果 \(*\) 作用在 \(S\) 上具有封闭性和结合律，那么这个二元组就被称为半群。

现在我们考虑再加入一些东西，继续升级我们的结构。

我们将目光放在集合中的元素上：

考虑找到一个最优秀的元素：\(e\) 。

如果我们能做到让这个 \(e*a=a\) 且 \(a*e=a\) ，那么此时我们更进一步，得到了幺元。

那么当我们将幺元这元素加入时：

我们得到了一个幺半群（monoid)！

继续向下探索，如果我们都有了幺元 \(e\) 了，那么对于集合 \(S\) 中的一个元素 \(a\) ，如果能找到一个元素 \(b\) 使得 \(a*b=b*a=e\) ，那么此时我们就称 \(b\) 为 \(a\) 的逆元。

那么如果 \(\forall a\in S\) ，我们都能找到 \(b\in S,a*b=b*a=e\) ，那么我们就又得到了一条新性质：可逆性。

那么当我们将可逆性这条性质加入时：

我们得到了一个群（group)！

至此，我们终于构造出了我们的主角：群。

总结一下，对于群 \((S,*)\) 而言，我们有4条性质

• 封闭性：\(\forall a,b\in S,a*b=c\in S\)
• 结合律：\(\forall a,b,c\in S,(a*b)*c=a*(b*c)\)
• 幺元：\(\exists e, \forall a\in S,a*e=e*a=a\)
• 可逆性：\(\forall a\in S,\exists b,a*b=b*a=e\)

我们回顾一下小学一年级学的算数的那么多性质，发现我们还漏了一条：交换律。

那么当我们将可逆性这条性质加入时：

我们得到了一个阿贝尔群（abelian group)！

群的性质

我们现在已经得到了好多好多东西，那么我们将我们的得到的结构拿出来玩一玩，看看是否能得到一些有趣的结果。

在这里我们只讨论群的一些基本性质：

• 对于群 \(G\) 而言，有且只有一个幺元。
  • 证明是简单的：
    • 考虑反证法：假设我们有两个不同幺元 \(e,e'\) ，那么 \(e*e'=e=e'*e=e'\)，此时就与不同这一限制互逆了，因此矛盾，我们只有一个逆元。
• 对于群 \(G\) 而言，\(\forall a\in S\) ，有且仅有一个元素 \(b\in S\) ,使得 \(a*b=e\)
  • 证明同样是简单的：
    • 同样考虑反证法：：假设我们有两个不同逆元 \(b,b'\) ，那么 \(b=e*b=(b'*a)*b=b'*(a*b)=b'\)，此时就与不同这一限制互逆了，因此矛盾，我们只有一个逆元。
• 对于群 \(G\) 而言，\(\forall a,b\in S\) ，有解且有唯一解 \(x\) ，\(x*a=b\) ，且有解且有唯一解 \(y\) ，\(a*y=b\)
  • 证明与上述类似，这里就不再阐述了
• 对于群 \(G\) 而言，\(\forall a,b\in S,(a^{-1})^{-1}=a,(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\)
  • 由上一条可以推出答案是唯一的，验证正确性只需要运用结合律即可。

至此，我们论述完了群的一些基本性质。

回过头来看我们的做法，可以发现我们的矩阵和矩阵乘法完美的构成了一个非阿贝尔群。

那么也就是说，如果我们能找到另一种 \((S,*)\) 来替代 \((M,*)\) , 其实也是能做到哈希的。

但是为了方便，一般情况下都考虑矩阵。

---

例题

具体的，我们来看一些例题

CSP-S2023 T2：

​ 问有多少连续子串可以被消空。

有个原题是：Problem - 1223F - Codeforces 。

就是把字符集变大了，用矩阵哈希一样做。

那么从前往后计算前缀和，只要记录有多少个 \(sum_j=sum_i^{-1}\) 即可，这个直接扫一遍 map 存一下就行。

存 map 只要定义 \(<\) 和 \(=\) 即可。

---

模拟T4：

​ 求有多少种方案可以使得交换不同的两个字符使得最后可以被消除。

一种复杂度更劣的做法是考虑 cdq 分治：

那么枚举交换的是哪个字符，计算出左端点前面的值和到 mid的值，用 \(map\) 存一下，再考虑右端点就行。

这样复杂度是 \(O(n\log^2n)\) 。

另一种更优的方法是：

直接考虑从后往前扫，那么每次新加一个字符相当于对目前的 \(map\) 整体在右乘一个矩阵，用一个 tag 维护一下就行。插入新矩阵就先右乘一下逆即可。复杂度是 \(O(n\log n)\)。

---

Flower's Land

这个好像才是刚开始的出处？（是花花的题好像

​ 两种操作，一种是区间值域右移：\(a_i=(a_i+1)\mod 3\)，另一种是问区间是否可以被消除。

做法就考虑线段树，提前维护好线段树上每个区间右移时候的值，那么只要修改 tag 就行了。

询问是简单的。