从今天开始学离散2还来得及吗？
消去律
右消去律: \(ax=bx \to a=b\)。
半群
称 \((S,\cdot)\) 是半群，则满足结合律。例如加法和矩阵乘法。
含幺元的半群 \((S,\cdot,e)\) 称 含幺半群 或 幺群。（这里指存在 \(e\) 使 \(\forall x, x+e=x\)）
在此基础上满足交换律，则称交换幺群。
称一个幺群是循环的，或循环幺群，当且仅当存在 \(g\) 使 \(\forall x,\exist c,x=g^c\)。
(注意在不含幺元的半群上依然可以定义循环(半)群)
在此基础上称 \(g\) 是生成元。
定理：循环幺群是交换的。
证明：展开即可。
子半群：一个封闭的子集。
子幺群：在此基础上含有幺元。
同态：指映射 \(f: A\to B\)，其中 \(A,B\) 分别建立两个半群。然后云云。这里不要求 \(f\) 有什么性质。
相应的有单同态，满同态，同构。
定理：半群、幺群、子半群的同态象，仍然是半群、幺群、子半群。
群
群即每个元素皆可逆的幺群。
定理：存在左单位元，左逆的半群是群。
满足交换律的群，称 Abel 群。
对半群 G，若对任意的 a,b 存在 x,y 满足 ax=b,ya=b 则 G 是群。
称一个元素 \(x\) 的阶，为最小的正整数 \(k\) 使 \(x^k=e\)，记作 \(O<x>\)。
子群：只需满足封闭，含幺元，逆存在。（注意含单位元限制了空集不是子群）
子群符号记作 \(\leq\)。
定理：非空的 \(S\) 是子群，当且仅当 \(\forall x,y, xy^{-1}\in S\)。
循环群
注意循环群的生成元可以用负数次幂，例如 \((\Z,+)\) 有两个生成元 \(1,-1\)。
定理：设 \(G=\langle a\rangle\)
- \(O\langle a\rangle=\infin\)，则生成元只有 \(a,-a\)。
- \(O\langle a\rangle=n\)，则有 \(\varphi(n)\) 个生成元。
定理：循环群的子群依然循环。
定理：无限循环群的子群是无限的。
定理：有限循环群的子群的阶是原群的阶的因子。
定理：对 \(n\) 阶有限群 \(G\)，其 \(d(d|n)\) 阶子群恰只有一个。
群同构
记作 \(\cong\)。
定理：阶相等的循环群同构
变换群
\(A\) 的所有一一变换组成的群称一一变换群，其子群称变换群。
\(A\) 有限时称置换。
称 \(S_n\) 表示 \(n!\) 个置换构成的集合，其对应的群称为 \(n\) 次对称群。子群称 \(n\) 次置换群。
轮换：即 \((i_1,\cdots,i_n)\)。其中 \(l=2\) 称对换。
置换可以写作若干个轮换拼起来。
逆序数：记作 \(N(\sigma)\)。相应有奇置换和偶置换。（即逆序数的奇偶性）
交错群：即偶置换构成的群。
Cayley 定理
任意群和一个变换群同构。
陪集
令 \(H\leq G\)，对任意 \(a\in G\)，集合 \(aH=\{ah|h\in H\}\) 称 \(H\) 在 \(G\) 中的一个左陪集。
定理：\(\forall a,b\in G, aH\not=bH \Rightarrow aH\cap bH=\emptyset\)。
于是我们可以做陪集分解：\(G=a_1H \cup \cdots\cup a_kH\)，其中两两不交。
记 \([G:h]=k\)。
Lagrange定理：\([G:1]=[G:H][H:1]\)
定理：\(|AB|=\dfrac{|A||B|}{|A\cap B|}\)，其中 \(AB=\{xy|x\in A,y\in B\}\)
正规子群
即左右陪集相等。
称 \(H \triangleleft G\)。
等价于 \(\forall g\in G,h\in H,ghg^{-1}\in H\)。
在此基础上，令 \(G/H\) 表示 \(H\) 所有陪集构成的集合：
注意 \((g/H)(h/H)=(gh/H)\)（因为 \(H\) 正规）
于是这是一个群，称为商群。
同态
设 \(f\) 是 \(G\) 到 \(G'\) 的同态，\(e\) 是单位元，定义核：
且 \(\text{Ker}\) 是正规子群。
于是 \(f(a)=f(b) \Leftrightarrow a\in bK\)。
即 \(aK=bK\)。
定理：\(f\) 是单同态等价于 \(K=\{e\}\)。
同态基本定理
\(G\) 的任一商群都是同态的象，反之若 \(f\) 是 \(G\) 到 \(G'\) 的满同态则:
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