【DSP】离散时间信号与系统

1.序列运算——卷积

  序列运算也包括加减乘，就是对应位置进行加减乘的计算，这都很好理解，下面我们介绍一下卷积。
  对于一个系统来说，当输入为x(n)时，在时域里系统输出y(n)为：

\[y\left( n \right) =x\left( n \right) \ast h\left( n \right) \]

  在这门课程中，经常会遇到给输入x(n)求输出y(n),因此掌握卷积运算是非常有必要的。
  下面介绍一下卷积运算的两种方法
  1.定义：

\[y\left( n \right) =x\left( n \right) \ast h\left( n \right) =\sum_{m=-∞}^n{x\left( m \right) h\left( n-m \right)} \]

  使用定义法就是四个步骤：①翻转，②移动，③相乘，④相加，使用这四个步骤最好是画图和公式相结合，不然很容易错。
  下面给出一个定义法求卷积的例子：

  2.对位相乘相加法：
  这个方法适用于序列是有限长，并且各个值已经给出的情况。值得注意的是相加时不进位
  下面给出一个对位相乘相加法求卷积的例子：

 

2.典型序列

   （1）单位抽样序列：

  单位抽样序列有一个重要的性质：都叠加在一起（自己起的名字）

\[x\left( n+n_0 \right) \ast \delta \left( n-n_1 \right) =x\left( x+n_0-n_1 \right) \]

   （2）单位阶跃序列：

   （3）矩形序列：

   （4）实指数序列：

   （5）复指数序列：

 

3.序列周期性

  抽样前序列是周期的，抽样后不一定是周期的
  周期性判断： 看2Π/w

\[\frac{2\pi}{\omega } \]

  若2Π/w是无理数，那么序列是非周期的
  若2Π/w是有理数：
    若：

\[\frac{2\pi}{\omega }=N，周期是N \]

    若：

\[\frac{2\pi}{\omega }=\frac{P}{Q}不可再约分了，周期为P \]

 

4.线性移不变系统判断

定义法

 

5.因果性判断

  （1）若系统是LSI系统：

\[h(n)=0,n<0，系统是因果的 \]

  （2）若系统是非LSI系统：系统输出不发生在输入之前，即n0时刻输出只与n0及之前的输入有关，则系统是因果的。
 

6.稳定性判断

  （1）若系统是LSI系统：

\[\sum_{m=-∞}^{+∞}{|h(n)|}=P<∞，则系统是稳定的 \]

  （2）若系统是非LSI系统：有界输入产生有界输出，则系统是稳定的
  （3）通用方法：
    稳定：收敛域包含单位圆
    不稳定：收敛域不包含单位圆
 

7.抽样

  在抽样前通常会加一个抗混叠滤波器，也就是低通滤波器，让信号有一个上限截止频率。
  （1）模拟角频率 Ω 和数字角频率 w 关系：

\[\omega =\varOmega T \]

  （2）奈奎斯特定理：

\[f_s\ge 2f_h \]

  （3）对抽样后的序列求解：已知x(t)求x(n)

\[令t=nT_s \]

 
 
2023 / 1 / 14  21：43
GJY in Anshan